Bài tập nâng cao · Bài 6
Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 6
Cho các số thực $a$, $b$ thỏa mãn $a>b>1$ và $\frac{1}{\log_{b}a}+\frac{1}{\log_{a}b}=\sqrt{2020}$. Giá trị của biểu thức $P=\frac{1}{\log_{ab}b}-\frac{1}{\log_{ab}a}$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Do $a>b>1$ nên $\log_{a}b>0$, $\log_{b}a>0$ và $\log_{b}a>\log_{a}b$.
Ta có: $\frac{1}{\log_{b}a}+\frac{1}{\log_{a}b}=\sqrt{2020}$
$\Leftrightarrow \log_{b}a+\log_{a}b=\sqrt{2020}$
$\Leftrightarrow \log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b+2=2020$
$\Leftrightarrow \log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b=2018$ (*)
Khi đó, $P=\log_{b}ab-\log_{a}ab=\log_{b}a+\log_{b}b-\log_{a}a-\log_{a}b=\log_{b}a-\log_{a}b$
Suy ra: $P^{2}=\left( \log_{b}a-\log_{a}b \right)^{2}=\log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b-2=2018-2=2016\Rightarrow P=\sqrt{2016}$
Ta có: $\frac{1}{\log_{b}a}+\frac{1}{\log_{a}b}=\sqrt{2020}$
$\Leftrightarrow \log_{b}a+\log_{a}b=\sqrt{2020}$
$\Leftrightarrow \log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b+2=2020$
$\Leftrightarrow \log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b=2018$ (*)
Khi đó, $P=\log_{b}ab-\log_{a}ab=\log_{b}a+\log_{b}b-\log_{a}a-\log_{a}b=\log_{b}a-\log_{a}b$
Suy ra: $P^{2}=\left( \log_{b}a-\log_{a}b \right)^{2}=\log_{b}^{2}a+\log_{a}^{2}b-2=2018-2=2016\Rightarrow P=\sqrt{2016}$