Bài tập nâng cao Lôgarit · Bài 5

Do $\log_{7}12=a$; $\log_{12}24=b\Rightarrow a\,;\,b>0$
$\bullet$ $\log_{7}12=a\Leftrightarrow \log_{7}\left( 2^{2}.3 \right)=a\Leftrightarrow 2\log_{7}2+\log_{7}3=a$ $\left( 1 \right)$
$\bullet$ $\log_{12}24=b\Leftrightarrow \frac{\log_{7}24}{\log_{7}12}=b\Leftrightarrow \frac{3\log_{7}2+\log_{7}3}{a}=b\Leftrightarrow 3\log_{7}2+\log_{7}3=ab$ $\left( 2 \right)$
Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} 2\log_{7}2+\log_{7}3=a \\ 3\log_{7}2+\log_{7}3=ab \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \log_{7}2=ab-a \\ \log_{7}3=3a-2ab \end{array} \right.$
Mặt khác: $\log_{54}168=\frac{\log_{7}168}{\log_{7}54}=\frac{\log_{7}\left( 2^{3}.3.7 \right)}{\log_{7}\left( 2.3^{3} \right)}=\frac{3\log_{7}2+\log_{7}3+1}{\log_{7}2+3\log_{7}3}$
$\Rightarrow \log_{54}168=\frac{3\left( ab-a \right)+3a-2ab+1}{ab-a+3\left( 3a-2ab \right)}=\frac{3ab-3a+3a-2ab+1}{ab-a+9a-6ab}=\frac{ab+1}{8a-5ab}=\frac{ab+1}{a\left( 8-5b \right)}$
Vậy $\log_{54}168=\frac{ab+1}{a\left( 8-5b \right)}$.