(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ $A,B,C$; gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng
$\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.

Question

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc Phương pháp: - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức cùng bằng một biểu thức trung gian. - Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ, tính chất của tích vô hướng. - Tách vectơ, biến đổi về các tích vô hướng khác. - Hai đường thẳng $ a $ và $ b $ vuông góc khi và chỉ khi $ u.v=0 $, trong đó $ u
eq 0,v
eq 0 $, giá của vectơ $ u $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ a $ và giá của vectơ $ v $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ b $. (KNTT10) Cho tam giác $ABC$ không cân. Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ $A,B,C$; gọi $M,N,P$ tương ứng là trung điểm các cạnh $BC,CA,AB$. Chứng minh rằng $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Gọi $H$ là trực tâm và $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác $ABC$. Khi đó $D,E,F$ tương ứng là hình chiếu vuông góc của $H$ trên $BC,CA,AB$ và $M,N,P$ theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $BC,CA,AB$. [IMAGE:question_images/10-16. TICH VO HUONG/B. TU LUAN/image489.png] Theo định lí chiếu ta có: $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OB}$ $\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC})=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OC}$ $\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OH}\cdot(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})=\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OH}\cdot\overrightarrow{OA}$. Từ đó suy ra $\overrightarrow{MD}\cdot\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{NE}\cdot\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{PF}\cdot\overrightarrow{AB}=0$.

Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 29