Dạng 2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức cùng bằng một biểu thức trung gian.
- Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ, tính chất của tích vô hướng.
- Tách vectơ, biến đổi về các tích vô hướng khác.
- Hai đường thẳng $ a $ và $ b $ vuông góc khi và chỉ khi $ u.v=0 $, trong đó $ u\neq 0,v\neq 0 $, giá của vectơ $ u $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ a $ và giá của vectơ $ v $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ b $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 28
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$ có $\widehat A<90^{\circ}$. Dựng ra phía ngoài tam giác hai tam giác vuông cân đỉnh $A$ là $ABD$ và $ACE$. Gọi $M,N,P$ theo thứ tự là trung điểm $BC$, $BD,CE$. Chứng minh rằng:
a) $AM$ vuông góc với $DE$;
b) $BE$ vuông góc với $CD$;
c) Tam giác $MNP$ là một tam giác vuông cân.
Xem lời giải
Lời giải
Do $\widehat A<90^{\circ}$ nên $\widehat{BAE}=90^{\circ}+\widehat A=\widehat{CAD}$. (1)
a) Do $M$ là trung điểm của $BC$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac12(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})$. (2)
Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD}$.
Từ đó và (1), (2) suy ra
$2\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{DE}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\cdot(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AD})$
$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}$
$=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}$ (do $AB\perp AD,AC\perp AE$)
$=AB\cdot AE\cdot\cos\widehat{BAE}-AC\cdot AD\cdot\cos\widehat{CAD}=0$ (do $AB=AD,AE=AC$ và (1)).
b) Từ giả thiết suy ra $\widehat{DAE}=360^{\circ}-\widehat{DAB}-\widehat{BAC}-\widehat{CAE}=180^{\circ}-\widehat A$. (3)
Theo quy tắc ba điểm, ta có $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC}$. Suy ra
$\overrightarrow{BE}\cdot\overrightarrow{CD}=(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})\cdot(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\cdot\overrightarrow{AD}$
$=AB\cdot AC\cdot\cos\widehat{BAC}+AE\cdot AD\cdot\cos\widehat{DAE}=0$ (do $AB=AD,AC=AE$ và (3)).
Từ đó $BE\perp CD$.
Hơn nữa
$BE^2=\overrightarrow{BE}^2=(\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AB})^2=AE^2+AB^2-2AE\cdot AB\cdot\cos\widehat{BAE}$
$=AC^2+AD^2-2AC\cdot AD\cdot\cos\widehat{CAD}=(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AC})^2=\overrightarrow{CD}^2=CD^2$.
Suy ra $BE=CD$.
c) Do $M$ là trung điểm của $BC$ và $N$ là trung điểm của $BD$, nên $MN$ là đường trung bình của tam giác $BCD$.
Do đó $MN\parallel CD,MN=\frac12CD$. (4)
Cũng vậy, $MP$ là đường trung bình của tam giác $BCE$.
Do đó $MP\parallel BE,MP=\frac12BE$. (5)
Từ $(4),(5)$ và kết quả của phần b) suy ra $MN=MP$ và $MN\perp MP$, hay tam giác $MNP$ vuông cân tại $M$.
