Dạng 2. Chứng minh đẳng thức về tích vô hướng, chứng minh hai đường thẳng vuông góc
Phương pháp:
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức cùng bằng một biểu thức trung gian.
- Sử dụng các tính chất của phép toán vectơ, tính chất của tích vô hướng.
- Tách vectơ, biến đổi về các tích vô hướng khác.
- Hai đường thẳng $ a $ và $ b $ vuông góc khi và chỉ khi $ u.v=0 $, trong đó $ u\neq 0,v\neq 0 $, giá của vectơ $ u $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ a $ và giá của vectơ $ v $ song song hoặc trùng với đường thẳng $ b $.
Bài tự luận Tích vô hướng của hai vectơ · Bài 27
(KNTT10) Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=1,BC=\sqrt2$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$.
a) Chứng minh rằng các đường thẳng $AC$ và $BM$ vuông góc với nhau.
b) Gọi $H$ là giao điểm của $AC,BM$. Gọi $N$ là trung điểm của $AH$ và $P$ là trung điểm của $CD$. Chứng minh rằng tam giác $NBP$ là một tam giác vuông.
Xem lời giải
Lời giải
a) Đặt $\overrightarrow{AB}=b,\overrightarrow{AD}=d$ với $\|b\|=1,\|d\|=\sqrt2$ và $b\cdot d=0$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=b+d$. Hơn nữa, do $M$ là trung điểm của $AD$ nên $\overrightarrow{AM}=\frac12d$ và do đó $\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}=\frac12d-b$.
Suy ra $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{BM}=(b+d)\cdot\left(\frac12d-b\right)=-b^2+\frac12d^2=-1+\frac12\cdot2=0$.
Từ đó $AC\perp BM$.
b) Theo định lí Pythagore ta có $AC=\sqrt3$
và $AH=\frac1{\sqrt3}$. Suy ra $\overrightarrow{AH}=\frac13\overrightarrow{AC}$.
Do $N$ là trung điểm của $AH$ nên
$\overrightarrow{NB}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AB}=\frac12\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AB}=\frac12\left[-\frac13(b+d)\right]+b=\frac56b-\frac16d$. (1)
Do $P$ là trung điểm của $CD$ và $N$ là trung điểm của $HA$, nên theo kết quả bài 4.12, Toán 10 tập một, ta có
$\overrightarrow{NP}=\frac12(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{HC})=\frac12\left[d+\frac23(b+d)\right]=\frac13b+\frac56d$. (2)
Từ (1) và (2) suy ra
$\overrightarrow{NB}\cdot\overrightarrow{NP}=\left(\frac56b-\frac16d\right)\cdot\left(\frac13b+\frac56d\right)=\frac5{18}b^2-\frac5{36}d^2=\frac5{18}\cdot1-\frac5{36}\cdot2=0$.
Suy ra $NB\perp NP$ và do đó tam giác $NBP$ vuông tại $N$.
