Bài tự luận · Bài 13
Dạng 1. Chứng minh hai mặt phẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 13
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Gọi $H$ và $K$ lần lượt là hình chiếu của $A$ trên $SB$ và $SD$. Chứng minh rằng:
a) $(SBC)\perp (SAB)$;
b) $(SCD)\perp (SAD)$;
c) $(SBD)\perp (SAC)$;
d) $(SAC)\perp (AHK)$.
a) $(SBC)\perp (SAB)$;
b) $(SCD)\perp (SAD)$;
c) $(SBD)\perp (SAC)$;
d) $(SAC)\perp (AHK)$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Ta có: $(SAB)\perp (ABCD)$;
$(SAD)\perp (ABCD)$;
$(SAB)∩(SAD)=SA$
$\Rightarrow SA\perp (ABCD)$
Khi đó: $BC\perp AB$ (giả thiết);
$BC\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$)
$\Rightarrow BC\perp (SAB)\Rightarrow (SBC)\perp (SAB)$
b) Chứng minh tương tự câu a, ta được $(SCD)\perp (SAD)$
c) Ta có $BD\perp AC$(giả thiết)
$BD\perp SA$ (vì $SA\perp (ABCD)$)
$\Rightarrow BD\perp (SAC)\Rightarrow (SBD)\perp (SAC).$
d) Ta có $(SAB)\perp (SBC)$(chứng minh trên)
$(SAB)∩(SBC)=SB;$
$AH\perp SB$(giả thiết)
$\Rightarrow AH\perp (SBC)\Rightarrow AH\perp SC.$(1)
Ta có: $(SCD)\perp (SAD)$ (chứng minh trên);
$(SCD)∩(SAD)=SD$
$AK\perp SD$ (giả thiết)
$\Rightarrow AK\perp (SCD)\Rightarrow AK\perp SC$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra: $SC\perp (AHK)$.
Vậy $(SAC)\perp (AHK)$.