Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 78

Ta có: $\tan x-\tan y=1+\tan x.\tan y$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \tan\left( x-y \right)=1 \\ 1+\tan x\tan y\neq 0 \end{array} \right.v\left\{ \begin{array}{l} 1+\tan x.\tan y=0 \\ \tan x-\tan y=0 \\ 1+\tan^{2}x=0\left( VN \right) \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x-y=\frac{\pi}{4}+k\pi\left( x;y\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \right)$
$\Leftrightarrow x=y+\frac{\pi}{4}+k\pi\left( x;y\neq \frac{\pi}{2}+k\pi \right)$
Thay vào $\left( 2 \right)$ ta được:
$\cos 2y+\sqrt{3}\cos\left( 2y+\frac{\pi}{2}+k2\pi \right)=-1$
$\Leftrightarrow \cos 2y-\sqrt{3}\sin 2y=-1$
$\Leftrightarrow \sin\left( 2y-\frac{\pi}{6} \right)=\frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow 2y-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $2y-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}+k2\pi$
$\Leftrightarrow y=\frac{\pi}{6}+k2\pi$ hoặc $\Leftrightarrow y=\frac{\pi}{2}+k2\pi$ (loại)
Do đó hệ đã cho $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{5\pi}{12}+k\pi \\ y=\frac{\pi}{6}+k\pi \end{array} \right.$