Bài tự luận · Bài 20
Dạng 2. Góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 20
(CTST11) Cho tứ diện $ABCD$ có tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ và $AB\perp (BCD)$. Cho biết $BC=a\sqrt{2},AB=\frac{a}{\sqrt{3} }$. Xác định và tính góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $I$ là trung điểm của $CD$.
Ta có: $CD\perp BI$ và $CD\perp AB\Rightarrow CD\perp AI$.
Khi đó: $(ACD)∩(BCD)=CD$;
$AI\perp CD,AI\subset (ACD);$
$BI\perp CD,BI\subset (BCD)$ suy ra $((ACD),(BCD))=(AI,BI)$.
Do tam giác $BCD$ vuông cân tại $B$ nên $BI=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}\cdot BC\sqrt{2}=a$.
Xét tam giác $ABI$ vuông tại $B$, ta có: $\tan \widehat { AIB }=\frac{AB}{BI}=\frac{1}{\sqrt{3} }\Rightarrow \widehat { AIB }=30^{\circ}$.
Vậy góc giữa hai mặt phẳng $(ACD)$ và $(BCD)$ là $\widehat { AIB }=30^{\circ}$.