Bài tự luận · Bài 21
Dạng 2. Góc giữa hai mặt phẳng
Bài tự luận Hai mặt phẳng vuông góc · Bài 21
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $2a$. Cho biết $SA=a$ và $SA\perp (ABCD)$. Trên $BC$ lấy điểm $I$ sao cho tam giác $SDI$ vuông tại $S$. Biết góc giữa hai mặt phẳng $(SDI)$ và $(ABCD)$ là $60^{\circ}$. Tính độ dài $SI$.
Xem lời giải
Lời giải
Vẽ $AK\perp ID(K\in ID)$.
Ta có $ID\perp SA$ và $ID\perp AK$
$\Rightarrow ID\perp (SAK)\Rightarrow ID\perp SK$.
Suy ra $((SDI),(ABCD))= \widehat { AKS }=60^{\circ}$.
Xét tam giác $SAK$ vuông tại $A$, ta có:
$\sin \widehat { AKS }=\frac{SA}{SK}\Rightarrow SK=\frac{SA}{\sin 60^{\circ} }=\frac{2a}{\sqrt{3} }.$
Tam giác $SAD$ vuông tại $A$, ta có: $SD=\sqrt{a^{2} +4a^{2} }=a\sqrt{5}$.
Xét tam giác $SID$ vuông tại $S$, ta có:
$\frac{1}{SK^{2} }=\frac{1}{SI^{2} }+\frac{1}{SD^{2} }\Leftrightarrow \frac{1}{SI^{2} }=\frac{1}{SK^{2} }-\frac{1}{SD^{2} }\Rightarrow SI=\frac{2a\sqrt{55}}{11}$.