Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}(m^{2}-m)x^{3}+2mx^{2}+3x-2$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;\,+\infty)$?

Question

Dạng 1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$ – Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$ – Bước 2. Tính đạo hàm $y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c.$ + Để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'=f'(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{f'(x)}=3a>0 \ \Delta_{f'(x)}=4b^{2}-12ac\leq 0 \end{array} ight. \Rightarrow m\,?$ + Để $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'=f'(x)\leq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{f'(x)}=3a<0 \ \Delta_{f'(x)}=4b^{2}-12ac\leq 0 \end{array} ight. \Rightarrow m\,?$ Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c.$ • Để $f(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>0 \ \Delta \leq 0 \end{array} ight.$ • $f(x)\leq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a<0 \ \Delta \leq 0 \end{array} ight.$ Xét hàm số nhất biến $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ – Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ -\frac{d}{c} ight\}$ – Bước 2. Tính đạo hàm $y'=f'(x)=\frac{a.d-b.c}{(cx+d)^{2}}$ + Để $f(x)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y'=f'(x)>0, \forall x\in D \Leftrightarrow a.d-b.c>0 \Rightarrow m\,?$ + Để $f(x)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y'=f'(x)<0, \forall x\in D \Leftrightarrow a.d-b.c<0 \Rightarrow m\,?$ Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu "$=$" xảy ra tại vị trí $y'.$ Hỏi có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y=\frac{1}{3}(m^{2}-m)x^{3}+2mx^{2}+3x-2$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;\,+\infty)$?

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: $y'=(m^{2}-m)x^{2}+4mx+3$ Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(-\infty;\,+\infty) \Leftrightarrow y'\geq 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$. + Với $m=0$ ta có $y'=3>0$ với $\forall x\in \mathbb{R} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty;\,+\infty)$. + Với $m=1$ ta có $y'=4x+3>0\Leftrightarrow x>-\frac{3}{4}$ $\Rightarrow m=1$ không thỏa mãn. + Với $\left\{ \begin{array}{l} m eq 1 \ m eq 0 \end{array} ight.$ ta có $y'\geq 0$ với $\forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^{2}-m>0 \ \Delta'=m^{2}+3m\leq 0 \end{array} ight. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left[ \begin{array}{l} m>1 \ m<0 \end{array} ight. \ -3\leq m\leq 0 \end{array} ight. \Leftrightarrow -3\leq m<0$. Tổng hợp các trường hợp ta được $-3\leq m\leq 0$. $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m\in \left\{ -3;\,-2;\,-1;\,0 ight\}$. Vậy có $4$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn bài ra.

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 3