Bài tập nâng cao · Bài 4

Dạng 1. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó Xét hàm số bậc ba $y=f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$ – Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}.$ – Bước 2. Tính đạo hàm $y'=f'(x)=3ax^{2}+2bx+c.$ + Để $f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'=f'(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{f'(x)}=3a>0 \\ \Delta_{f'(x)}=4b^{2}-12ac\leq 0 \end{array} \right. \Rightarrow m\,?$ + Để $f(x)$ nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y'=f'(x)\leq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a_{f'(x)}=3a<0 \\ \Delta_{f'(x)}=4b^{2}-12ac\leq 0 \end{array} \right. \Rightarrow m\,?$ Lưu ý: Dấu của tam thức bậc hai $f(x)=ax^{2}+bx+c.$ • Để $f(x)\geq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>0 \\ \Delta \leq 0 \end{array} \right.$ • $f(x)\leq 0, \forall x\in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a<0 \\ \Delta \leq 0 \end{array} \right.$ Xét hàm số nhất biến $y=f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ – Bước 1. Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ -\frac{d}{c} \right\}$ – Bước 2. Tính đạo hàm $y'=f'(x)=\frac{a.d-b.c}{(cx+d)^{2}}$ + Để $f(x)$ đồng biến trên $D \Leftrightarrow y'=f'(x)>0, \forall x\in D \Leftrightarrow a.d-b.c>0 \Rightarrow m\,?$ + Để $f(x)$ nghịch biến trên $D \Leftrightarrow y'=f'(x)<0, \forall x\in D \Leftrightarrow a.d-b.c<0 \Rightarrow m\,?$ Lưu ý: Đối với hàm phân thức thì không có dấu "$=$" xảy ra tại vị trí $y'.$

Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 4