Bài tập nâng cao · Bài 5
Dạng 2. Tìm m để hàm số nhất biến đơn điệu trên khoảng cho trước
Bài tập nâng cao Tính đơn điệu của hàm số · Bài 5
(Đề Tham Khảo Lần 1 2020) Cho hàm số $f(x)=\frac{mx-4}{x-m}$ ($m$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $(0\,;\,+\infty)$?
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \left\{ m \right\}$.
Đạo hàm $f'(x)=\frac{-m^{2}+4}{(x-m)^{2}}$.
Hàm số đồng biến trên $(0\,;\,+\infty)$ khi và chỉ khi
$f'(x)>0\,\forall x\in (0;+\infty)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m^{2}+4>0 \\ m\notin (0\,;\,+\infty) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2<m<2 \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -2<m\leq 0$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1\,;\,0 \right\}$. Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.
Đạo hàm $f'(x)=\frac{-m^{2}+4}{(x-m)^{2}}$.
Hàm số đồng biến trên $(0\,;\,+\infty)$ khi và chỉ khi
$f'(x)>0\,\forall x\in (0;+\infty)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -m^{2}+4>0 \\ m\notin (0\,;\,+\infty) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} -2<m<2 \\ m\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow -2<m\leq 0$.
Do $m\in \mathbb{Z}\Rightarrow m=\left\{ -1\,;\,0 \right\}$. Vậy có hai giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn đề bài.