Bài tập nâng cao · Bài 9
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 9
Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^{3}-mx^{2}+\left( m+6 \right)x+3$ có đạo hàm là $y'$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$; $x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=30$:
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=x^{2}-2mx+m+6$
Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow m^{2}-m-6>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < -2 \\ m>3 \end{array} \right.$
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$; $x_{2}$.
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2m \\ x_{1}x_{2}=m+6 \end{array} \right.$
Do đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=30\Leftrightarrow \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}x_{2}=30\Leftrightarrow 4m^{2}-2\left( m+6 \right)=30$
$\Leftrightarrow 4m^{2}-2m-42=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=-3\,\,\,\left( N \right) \\ m=\frac{7}{2}\,\,\,\,\,\left( N \right) \end{array} \right.$
Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow \Delta '>0\Leftrightarrow m^{2}-m-6>0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < -2 \\ m>3 \end{array} \right.$
Khi đó phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$; $x_{2}$.
Theo định lý Viet ta có: $\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=2m \\ x_{1}x_{2}=m+6 \end{array} \right.$
Do đó $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=30\Leftrightarrow \left( x_{1}+x_{2} \right)^{2}-2x_{1}x_{2}=30\Leftrightarrow 4m^{2}-2\left( m+6 \right)=30$
$\Leftrightarrow 4m^{2}-2m-42=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=-3\,\,\,\left( N \right) \\ m=\frac{7}{2}\,\,\,\,\,\left( N \right) \end{array} \right.$