Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 29
Cho $x,y$ là các số thực lớn hơn 1 sao cho $y^{x}\left( e^{x} \right)^{e^{y}}\geq x^{y}\left( e^{y} \right)^{e^{x}}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\log_{x}\sqrt{xy}+\log_{y}x$
Xem lời giải
Lời giải
Với $x,y>1$ thì $\log_{x}y$; $\log_{y}x$ là các số dương, ta có:
$P=\log_{x}\sqrt{xy}+\log_{y}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{x}y+\frac{1}{\log_{x}y}\geq \frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{1}{2}\log_{x}y\cdot \frac{1}{\log_{x}y}}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}.$ Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{1}{2}\log_{x}y=\frac{1}{\log_{x}y}\Leftrightarrow \left( \log_{x}y \right)^{2}=2\Leftrightarrow y=x^{\sqrt{2}}$.
Thay $\left\{ \begin{array}{l} y=x^{\sqrt{2}} \\ x>1 \end{array} \right.$ vào điều kiện thấy thoả mãn. Vậy $P_{\min}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$.
$P=\log_{x}\sqrt{xy}+\log_{y}x=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\log_{x}y+\frac{1}{\log_{x}y}\geq \frac{1}{2}+2\sqrt{\frac{1}{2}\log_{x}y\cdot \frac{1}{\log_{x}y}}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}.$ Dấu bằng xảy ra khi: $\frac{1}{2}\log_{x}y=\frac{1}{\log_{x}y}\Leftrightarrow \left( \log_{x}y \right)^{2}=2\Leftrightarrow y=x^{\sqrt{2}}$.
Thay $\left\{ \begin{array}{l} y=x^{\sqrt{2}} \\ x>1 \end{array} \right.$ vào điều kiện thấy thoả mãn. Vậy $P_{\min}=\frac{1+2\sqrt{2}}{2}$.