Bài tập nâng cao · Bài 28
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 28
Cho hai số thực $a>1,b>1$. Biết phương trình $a^{x}b^{x^{2}-1}=1$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\left( \frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}} \right)^{2}-4\left( x_{1}+x_{2} \right)$
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $S=\left( \frac{x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}} \right)^{2}-4\left( x_{1}+x_{2} \right)$
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $a^{x}b^{x^{2}-1}=1\Leftrightarrow x+\left( x^{2}-1 \right)\log_{a}b=0\Leftrightarrow \left( \log_{a}b \right)x^{2}+x-\log_{a}b=0$.
Do phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ nên theo định lí Viète ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-1}{\log_{a}b}=-\log_{b}a \\ x_{1}x_{2}=-1 \end{array} \right.$. Khi đó $S=\frac{1}{\log_{b}^{2}a}+4\log_{b}a$.
Đặt $t=\log_{b}a$, do $a>1,b>1\Rightarrow t>0$. Khi đó $S=\frac{1}{t^{2}}+4t=\frac{1}{t^{2}}+2t+2t\geq 3\sqrt[3]{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{t^{2}}=2t\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\min S=3\sqrt[3]{4}$.
Do phương trình có hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ nên theo định lí Viète ta có:
$\left\{ \begin{array}{l} x_{1}+x_{2}=\frac{-1}{\log_{a}b}=-\log_{b}a \\ x_{1}x_{2}=-1 \end{array} \right.$. Khi đó $S=\frac{1}{\log_{b}^{2}a}+4\log_{b}a$.
Đặt $t=\log_{b}a$, do $a>1,b>1\Rightarrow t>0$. Khi đó $S=\frac{1}{t^{2}}+4t=\frac{1}{t^{2}}+2t+2t\geq 3\sqrt[3]{4}$.
Đẳng thức xảy ra khi $\frac{1}{t^{2}}=2t\Leftrightarrow t=\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$. Vậy $\min S=3\sqrt[3]{4}$.