Bài tập nâng cao · Bài 27
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 27
Cho $a,b,c$ là các số thực dương khác 1 thoả mãn: $\log_{a}^{2}b+\log_{b}^{2}c=\log_{a}\frac{c}{b}-2\log_{b}\frac{c}{b}-3$. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\log_{a}b-\log_{b}c$
Xem lời giải
Lời giải
Biến đổi đẳng thức ở đề bài ta được:
$\log_{a}^{2}b+\log_{b}^{2}c=\log_{a}\frac{c}{b}-2\log_{b}\frac{c}{b}-3\Leftrightarrow \log_{a}^{2}b+\log_{b}^{2}c=\log_{a}c-\log_{a}b-2\log_{b}c-1$
Đặt $u=\log_{a}b;v=\log_{b}c$ ta có phương trình:
$u^{2}+v^{2}=uv-u-2v-1\Leftrightarrow u^{2}-2uv+v^{2}+u^{2}+2u+1+v^{2}+4v+4=3$ $\Leftrightarrow (u-v)^{2}+(u+1)^{2}+(v+2)^{2}=3\,(*)$
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}(x-y)^{2}$ dấu bằng xảy ra khi $x=-y$, áp dụng bất đẳng thức này ta có:
$(u+1)^{2}+(v+2)^{2}\geq \frac{1}{2}(u+1-v-2)^{2}\Leftrightarrow (u+1)^{2}+(v+2)^{2}\geq \frac{1}{2}(u-v-1)^{2}.(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:
$3-(u-v)^{2}\geq \frac{1}{2}(u-v-1)^{2}$ hay $3-P^{2}\geq \frac{1}{2}(P-1)^{2}\Leftrightarrow 3P^{2}-2P-5\leq 0\Leftrightarrow -1\leq P\leq \frac{5}{3}$.
Vậy $m=-1,M=\frac{5}{3}$ suy ra $S=m-3M=-6$.
$\log_{a}^{2}b+\log_{b}^{2}c=\log_{a}\frac{c}{b}-2\log_{b}\frac{c}{b}-3\Leftrightarrow \log_{a}^{2}b+\log_{b}^{2}c=\log_{a}c-\log_{a}b-2\log_{b}c-1$
Đặt $u=\log_{a}b;v=\log_{b}c$ ta có phương trình:
$u^{2}+v^{2}=uv-u-2v-1\Leftrightarrow u^{2}-2uv+v^{2}+u^{2}+2u+1+v^{2}+4v+4=3$ $\Leftrightarrow (u-v)^{2}+(u+1)^{2}+(v+2)^{2}=3\,(*)$
Ta có bất đẳng thức quen thuộc $x^{2}+y^{2}\geq \frac{1}{2}(x-y)^{2}$ dấu bằng xảy ra khi $x=-y$, áp dụng bất đẳng thức này ta có:
$(u+1)^{2}+(v+2)^{2}\geq \frac{1}{2}(u+1-v-2)^{2}\Leftrightarrow (u+1)^{2}+(v+2)^{2}\geq \frac{1}{2}(u-v-1)^{2}.(**)$
Từ $(*)$ và $(**)$ ta có:
$3-(u-v)^{2}\geq \frac{1}{2}(u-v-1)^{2}$ hay $3-P^{2}\geq \frac{1}{2}(P-1)^{2}\Leftrightarrow 3P^{2}-2P-5\leq 0\Leftrightarrow -1\leq P\leq \frac{5}{3}$.
Vậy $m=-1,M=\frac{5}{3}$ suy ra $S=m-3M=-6$.