Bài tập nâng cao · Bài 26
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 26
Xét các số thực $x,y$ thoả mãn $\log_{2}(x-1)+\log_{2}(y-1)=1$. Khi biểu thức $P=2x+3y$ đạt giá trị nhỏ nhất thì $3x-2y=a+b\sqrt{3}$ với $a,b\in \mathbb{Q}$. Tính $T=ab$.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} x-1>0 \\ y-1>0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x>1 \\ y>1 \end{array} \right.$
Khi đó $\log_{2}(x-1)+\log_{2}(y-1)=1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=2\Leftrightarrow y-1=\frac{2}{x-1}\Leftrightarrow y=\frac{2}{x-1}+1$ Suy ra $P=2x+3y=2x+\frac{6}{x-1}+3=2(x-1)+\frac{6}{x-1}+5$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$2(x-1)+\frac{6}{x-1}\geq 2\sqrt{2(x-1)\cdot \frac{6}{x-1}}\Rightarrow 2(x-1)+\frac{6}{x-1}\geq 4\sqrt{3}\Rightarrow P\geq 4\sqrt{3}+5$ Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 2(x-1)=\frac{6}{x-1}\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3\Leftrightarrow |x-1|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1+\sqrt{3} \\ x=1-\sqrt{3} \ (\text{L}) \end{array} \right.$
$\Rightarrow y=\frac{2}{\sqrt{3}}+1=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$
Do đó: $3x-2y=3(1+\sqrt{3})-2\left( \frac{2\sqrt{3}+3}{3} \right)=1+\frac{5}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a=1;b=\frac{5}{3}\Rightarrow T=ab=\frac{5}{3}$.
Khi đó $\log_{2}(x-1)+\log_{2}(y-1)=1\Leftrightarrow (x-1)(y-1)=2\Leftrightarrow y-1=\frac{2}{x-1}\Leftrightarrow y=\frac{2}{x-1}+1$ Suy ra $P=2x+3y=2x+\frac{6}{x-1}+3=2(x-1)+\frac{6}{x-1}+5$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
$2(x-1)+\frac{6}{x-1}\geq 2\sqrt{2(x-1)\cdot \frac{6}{x-1}}\Rightarrow 2(x-1)+\frac{6}{x-1}\geq 4\sqrt{3}\Rightarrow P\geq 4\sqrt{3}+5$ Dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow 2(x-1)=\frac{6}{x-1}\Leftrightarrow (x-1)^{2}=3\Leftrightarrow |x-1|=\sqrt{3}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=1+\sqrt{3} \\ x=1-\sqrt{3} \ (\text{L}) \end{array} \right.$
$\Rightarrow y=\frac{2}{\sqrt{3}}+1=\frac{2\sqrt{3}+3}{3}$
Do đó: $3x-2y=3(1+\sqrt{3})-2\left( \frac{2\sqrt{3}+3}{3} \right)=1+\frac{5}{3}\sqrt{3}\Rightarrow a=1;b=\frac{5}{3}\Rightarrow T=ab=\frac{5}{3}$.