Bài tập nâng cao · Bài 25
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 25
Xét các số thực dương $a,b,x,y$ thoả mãn $a>1$, $b>1$ và $a^{2x}=b^{3y}=a^{6}b^{6}$. Biết giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=4xy+2x-y$ có dạng $m+n\sqrt{165}$ (với $m,n$ là các số tự nhiên), tính $S=m+n$.
Xem lời giải
Lời giải
Theo bài ra ta có:
$a^{2x}=b^{3y}=a^{6}b^{6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^{2x}=a^{6}b^{6} \\ b^{3y}=a^{6}b^{6} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x=\log_{a}(a^{6}b^{6}) \\ 3y=\log_{b}(a^{6}b^{6}) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x=6+6\log_{a}b \\ 3y=6+6\log_{b}a \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3\left( 1+\log_{a}b \right) \\ y=2\left( 1+\log_{b}a \right) \end{array} \right.$
Vì $a,b>1$ nên $\log_{a}b>\log_{a}1=0$. Do đó
$\begin{array}{ll} P & =4xy+2x-y=24\left( 1+\log_{a}b \right)\left( 1+\log_{b}a \right)+6+6\log_{a}b-2-2\log_{b}a \\ & =52+30\log_{a}b+22\log_{b}a\geq 52+2\sqrt{30\log_{a}b\cdot 22\log_{b}a}=52+4\sqrt{165} \end{array}$
Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m+n\sqrt{165}$ khi $30\log_{a}b=22\log_{b}a\Leftrightarrow \log_{a}b=\sqrt{\frac{11}{15}}\Leftrightarrow b=a^{\sqrt{\frac{11}{15}}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} m=52 \\ n=4 \end{array} \right.\Rightarrow m+n=56$
$a^{2x}=b^{3y}=a^{6}b^{6}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a^{2x}=a^{6}b^{6} \\ b^{3y}=a^{6}b^{6} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x=\log_{a}(a^{6}b^{6}) \\ 3y=\log_{b}(a^{6}b^{6}) \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x=6+6\log_{a}b \\ 3y=6+6\log_{b}a \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x=3\left( 1+\log_{a}b \right) \\ y=2\left( 1+\log_{b}a \right) \end{array} \right.$
Vì $a,b>1$ nên $\log_{a}b>\log_{a}1=0$. Do đó
$\begin{array}{ll} P & =4xy+2x-y=24\left( 1+\log_{a}b \right)\left( 1+\log_{b}a \right)+6+6\log_{a}b-2-2\log_{b}a \\ & =52+30\log_{a}b+22\log_{b}a\geq 52+2\sqrt{30\log_{a}b\cdot 22\log_{b}a}=52+4\sqrt{165} \end{array}$
Vậy $P$ đạt giá trị nhỏ nhất là $m+n\sqrt{165}$ khi $30\log_{a}b=22\log_{b}a\Leftrightarrow \log_{a}b=\sqrt{\frac{11}{15}}\Leftrightarrow b=a^{\sqrt{\frac{11}{15}}}$
Ta có: $\left\{ \begin{array}{l} m=52 \\ n=4 \end{array} \right.\Rightarrow m+n=56$