Bài tập nâng cao · Bài 24
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 24
Xét các số thực dương $a,b,c$ lớn hơn 1 (với $a>b$) thoả mãn $4\left( \log_{a}c+\log_{b}c \right)=25\log_{ab}c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\log_{b}a+\log_{a}c+\log_{c}b$.
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1: Đặt $\log_{c}a=x,\log_{c}b=y$. Vì $a,b,c>1$ và $a>b$ nên suy ra $\log_{c}a>\log_{c}b$ hay $x>y>0$.
Từ giả thiết suy ra: $4\left( \frac{1}{\log_{c}a}+\frac{1}{\log_{c}b} \right)=25\cdot\frac{1}{\log_{c}ab}\Leftrightarrow \frac{4}{x}+\frac{4}{y}=\frac{25}{x+y}$
$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}}{xy}=\frac{25}{4}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{17}{4}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{y}=4 \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{4} \end{array} \right.\Rightarrow x=4y \ (\text{vì } x>y)$
Ta có:
$\begin{array}{ll} \log_{b}a+\log_{a}c+\log_{c}b & =\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}+\frac{1}{\log_{c}a}+\log_{c}b \\ & =\frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y=\frac{x}{y}+\frac{1}{4y}+y\geq 4+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot y}=5 \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=\frac{1}{2}$ và $x=2$, tức là $a=c^{2};c=b^{2}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 5.
Cách 2: Từ giả thiết suy ra: $4\left( \log_{a}b\cdot \log_{b}c+\log_{b}c \right)=25\cdot \log_{ab}b\cdot \log_{b}c$
$\Leftrightarrow 4\log_{b}c\left( \log_{a}b+1 \right)=25\frac{\log_{b}c}{\log_{b}ab}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{b}c=0 \\ 4\left( \log_{a}b+1 \right)=\frac{25}{\log_{b}a+1}. \end{array} \right.$
Do $a,b,c>1$ nên $\log_{b}c>0$. Do đó $4\left( 1+\log_{a}b \right)\left( 1+\log_{b}a \right)=25\Rightarrow \log_{a}b=\frac{1}{4}$.
Khi đó $\log_{b}a+\log_{a}c+\log_{c}b\geq 4+2\sqrt{\log_{a}c\cdot \log_{c}b}=4+2\sqrt{\log_{a}b}=5$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 đạt được khi và chỉ khi $a=b^{4},a=c^{2},c=b^{2}$.
Từ giả thiết suy ra: $4\left( \frac{1}{\log_{c}a}+\frac{1}{\log_{c}b} \right)=25\cdot\frac{1}{\log_{c}ab}\Leftrightarrow \frac{4}{x}+\frac{4}{y}=\frac{25}{x+y}$
$\Leftrightarrow \frac{(x+y)^{2}}{xy}=\frac{25}{4}\Leftrightarrow \frac{x}{y}+\frac{y}{x}=\frac{17}{4}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \frac{x}{y}=4 \\ \frac{x}{y}=\frac{1}{4} \end{array} \right.\Rightarrow x=4y \ (\text{vì } x>y)$
Ta có:
$\begin{array}{ll} \log_{b}a+\log_{a}c+\log_{c}b & =\frac{\log_{c}a}{\log_{c}b}+\frac{1}{\log_{c}a}+\log_{c}b \\ & =\frac{x}{y}+\frac{1}{x}+y=\frac{x}{y}+\frac{1}{4y}+y\geq 4+2\sqrt{\frac{1}{4y}\cdot y}=5 \end{array}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $y=\frac{1}{2}$ và $x=2$, tức là $a=c^{2};c=b^{2}$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức đã cho bằng 5.
Cách 2: Từ giả thiết suy ra: $4\left( \log_{a}b\cdot \log_{b}c+\log_{b}c \right)=25\cdot \log_{ab}b\cdot \log_{b}c$
$\Leftrightarrow 4\log_{b}c\left( \log_{a}b+1 \right)=25\frac{\log_{b}c}{\log_{b}ab}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{b}c=0 \\ 4\left( \log_{a}b+1 \right)=\frac{25}{\log_{b}a+1}. \end{array} \right.$
Do $a,b,c>1$ nên $\log_{b}c>0$. Do đó $4\left( 1+\log_{a}b \right)\left( 1+\log_{b}a \right)=25\Rightarrow \log_{a}b=\frac{1}{4}$.
Khi đó $\log_{b}a+\log_{a}c+\log_{c}b\geq 4+2\sqrt{\log_{a}c\cdot \log_{c}b}=4+2\sqrt{\log_{a}b}=5$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 5 đạt được khi và chỉ khi $a=b^{4},a=c^{2},c=b^{2}$.