Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 23
Xét các số thực dương $a,b,x,y$ thoả mãn $a>1,b>1$ và $a^{x}=b^{y}=\sqrt{ab}$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$.
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=\log_{a}b$. Vì $a,b>1$ nên $t>0$.
Ta có: $a^{x}=\sqrt{ab}\Rightarrow x=\log_{a}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\left( 1+\log_{a}b \right)=\frac{1}{2}(1+t)$;
$b^{y}=\sqrt{ab}\Rightarrow y=\log_{b}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\left( 1+\log_{b}a \right)=\frac{1}{2}\left( 1+\frac{1}{t} \right).$ Vậy $P=x+2y=\frac{1}{2}(1+t)+1+\frac{1}{t}=\frac{3}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{t}\geq \frac{3}{2}+\sqrt{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{t}{2}=\frac{1}{t}\Leftrightarrow b=a^{\sqrt{2}}$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$ bằng $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$.
Ta có: $a^{x}=\sqrt{ab}\Rightarrow x=\log_{a}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\left( 1+\log_{a}b \right)=\frac{1}{2}(1+t)$;
$b^{y}=\sqrt{ab}\Rightarrow y=\log_{b}\sqrt{ab}=\frac{1}{2}\left( 1+\log_{b}a \right)=\frac{1}{2}\left( 1+\frac{1}{t} \right).$ Vậy $P=x+2y=\frac{1}{2}(1+t)+1+\frac{1}{t}=\frac{3}{2}+\frac{t}{2}+\frac{1}{t}\geq \frac{3}{2}+\sqrt{2}$.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\frac{t}{2}=\frac{1}{t}\Leftrightarrow b=a^{\sqrt{2}}$.
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x+2y$ bằng $\frac{3}{2}+\sqrt{2}$.