Bài tập nâng cao · Bài 22
Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 22
Cho $x,y$ là các số thực dương thoả mãn
$\log_{9}x=\log_{6}y=\log_{4}(2x+y)$. Tính giá trị của $\frac{x}{y}$
$\log_{9}x=\log_{6}y=\log_{4}(2x+y)$. Tính giá trị của $\frac{x}{y}$
Xem lời giải
Lời giải
Đặt $t=\log_{9}x=\log_{6}y=\log_{4}(2x+y)$. Khi đó:
$x=9^{t},y=6^{t},2x+y=4^{t}\Rightarrow 2\cdot 9^{t}+6^{t}=4^{t}\Leftrightarrow 2\cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{2t}+\left( \frac{3}{2} \right)^{t}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( \frac{3}{2} \right)^{t}=\frac{1}{2} \\ \left( \frac{3}{2} \right)^{t}=-1\ (\text{loại}) \end{array} \right.$ Do đó: $\frac{x}{y}=\left( \frac{9}{6} \right)^{t}=\left( \frac{3}{2} \right)^{t}=\frac{1}{2}$.
$x=9^{t},y=6^{t},2x+y=4^{t}\Rightarrow 2\cdot 9^{t}+6^{t}=4^{t}\Leftrightarrow 2\cdot \left( \frac{3}{2} \right)^{2t}+\left( \frac{3}{2} \right)^{t}-1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left( \frac{3}{2} \right)^{t}=\frac{1}{2} \\ \left( \frac{3}{2} \right)^{t}=-1\ (\text{loại}) \end{array} \right.$ Do đó: $\frac{x}{y}=\left( \frac{9}{6} \right)^{t}=\left( \frac{3}{2} \right)^{t}=\frac{1}{2}$.