Bài tập nâng cao Hàm số mũ và hàm số lôgarit · Bài 21

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số $y=a^{x}$ nghịch biến nên $0<a<1$.
Mọi đường thẳng $y=m(m>0)$ đều cắt các đường $y=4^{x},y=a^{x}$, trục tung lần lượt tại $M\left( \log_{4}m;m \right),N\left( \log_{a}m;m \right)$ và $A=(0;m)$. Theo bài ra ta có:
$AN=2AM\Leftrightarrow |\log_{a}m|=2|\log_{4}m|\Leftrightarrow |\log_{a}m|=|\log_{2}m|$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{a}m=\log_{2}m \\ \log_{a}m=-\log_{2}m \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \log_{m}a=\log_{m}2 \\ \log_{m}a=\log_{m}\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=2 \\ a=\frac{1}{2} \end{array} \right.\ \Rightarrow a=\frac{1}{2}\ (\text{do } 0<a<1).$