Bài tự luận Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn · Bài 21
(KNTT10) Người ta dự định dùng hai loại nguyên liệu để chiết xuất ít nhất $280$ kg chất $A$ và $18$ kg chất $B$. Với một tấn nguyên liệu loại I, người ta có thể chiết xuất được $40$ kg chất $A$ và $1,2$ kg chất $B$. Với một tấn nguyên liệu loại II, người ta có thể chiết xuất được $20$ kg chất $A$ và $3$ kg chất $B$. Giá mỗi tấn nguyên liệu loại I là 4 triệu đồng và loại II là 3 triệu đồng. Hỏi người ta phải dùng bao nhiêu tấn nguyên liệu mỗi loại để chi phí mua nguyên liệu là ít nhất mà vẫn đạt được mục tiêu đề ra? Biết rằng cơ sở cung cấp nguyên liệu chỉ có thể cung cấp tối đa 10 tấn nguyên liệu loại I và 9 tấn nguyên liệu loại II.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số tấn nguyên liệu loại I và loại II mà người ta cần dùng. Khi đó khối lượng chất $A$ chiết xuất được là $40x+20y$ (kg). Khối lượng chất $B$ chiết xuất được là $1,2x+3y$ (kg). Từ giả thiết ta có hệ bất phương trình sau:
$\left\{ \begin{array}{l} 40x+20y\geq 280 \\ 1,2x+3y\geq 18 \\ x\leq 10 \\ y\leq 9 \end{array} \right. \quad \text{hay} \quad \left\{ \begin{array}{l} 2x+y\geq 14 \\ 1,2x+3y\geq 18 \\ x\leq 10 \\ y\leq 9 \end{array} \right.$.
Hơn nữa, số tiền người ta phải trả để mua nguyên liệu là $F(x;y)=4x+3y$ (triệu đồng). Vậy bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ với $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ở trên.
Bước 1. Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên. Miền nghiệm là miền tứ giác $ABCD$ với $A(5;4),B(10;2),C(10;9),D(2,5;9)$.
Bước 2. Tính giá trị của $F$ tại các đỉnh của tứ giác $ABCD$.
Ta có: $F(5;4)=32,F(10;2)=46,F(10;9)=67,F(2,5;9)=37$.
So sánh các giá trị này ta thấy $F(5;4)$ là nhỏ nhất. Do đó, giá trị nhỏ nhất của $F(x;y)$ với $(x;y)$ thoả mãn hệ bất phương trình trên là $F(5;4)=32$.
Vậy người ta cần mua 5 tấn nguyên liệu loại I và 4 tấn nguyên liệu loại II để chi phí là nhỏ nhất.
