Bài tự luận · Bài 23
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Xét hiệu của hai vế. - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 23
(CTST10) Lấy một điểm $M$ tuỳ ý. Chứng minh rằng:
a) $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
b) $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.
a) $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}$.
b) $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Với điểm $M$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB}=2\overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}$. Vì $I$ là trung điểm của $AB$ nên: $\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}=0$.
Do đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}+0=2\overrightarrow{MI}$.
b) Với điểm $M$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$.
Do đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.
Do đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}+0=2\overrightarrow{MI}$.
b) Với điểm $M$ bất kì, ta có: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC}=3\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}$.
Vì $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ nên: $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=0$.
Do đó: $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=3\overrightarrow{MG}$.