Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Xét hiệu của hai vế.
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 22
(CTST10) Gọi $AM$ là trung tuyến của tam giác $ABC$ và $D$ là trung điểm của đoạn $AM$. Chứng minh rằng:
a) $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=0$
b) $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$, với $O$ là điểm tuỳ ý.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $M$ là trung điểm của $BC$ nên:
$\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DM}$.
Mặt khác, do $D$ là trung điểm của đoạn $AM$ nên $\overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{DA}$. Suy ra $\overrightarrow{DM}+\overrightarrow{DA}=0$.
Khi đó: $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{DA}+2\overrightarrow{DM}=2(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DM})=0$.
b) Ta có: $2\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DC}$
$=(2\overrightarrow{OA}-2\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OD})=2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}-4\overrightarrow{OD}=0$.
Vậy $2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=4\overrightarrow{OD}$, với $O$ là điểm tuỳ ý.
