Dạng 3. Chứng minh đẳng thức vectơ
Phương pháp:
- Xét hiệu của hai vế.
- Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian.
- Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tích của một vectơ với một số · Bài 24
(CD10) Cho tứ giác $ABCD$ có $M,N$ lần lượt là trung điểm của hai cạnh $AB$ và $CD$. Gọi $G$ là trung điểm của đoạn thẳng $MN,A'$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Chứng minh:
a) $\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{MN}$
b) $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=0$
c) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=4\overrightarrow{OG}$ với $O$ bất kì;
d) $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}$
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $CD$ nên $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=0,\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND}=0$. Do đó
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{ND}+\overrightarrow{BM}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{NC}$
$=(\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{BM})+(\overrightarrow{NC}+\overrightarrow{ND})+2\overrightarrow{MN}=-0+0+2\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MN}$.
b) Vì $M$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}=2\overrightarrow{GM}$.
Vì $N$ là trung điểm của $CD$ nên $\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GN}$.
Suy ra $\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=2\overrightarrow{GM}+2\overrightarrow{GN}=2(\overrightarrow{GM}+\overrightarrow{GN})=2\vec{0}=0$.
c)
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GD}$
$=4\overrightarrow{OG}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=4\overrightarrow{OG}+0=4\overrightarrow{OG}$
d) Sử dụng kết quả câu c) khi điểm $O$ trùng điểm $A$, ta có:
$\overrightarrow{AA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}\Rightarrow\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=4\overrightarrow{AG}$
Vì $A'$ là trọng tâm của tam giác $BCD$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}=3\overrightarrow{AA'}$.
Từ hai đẳng thức trên suy ra $3\overrightarrow{AA'}=4\overrightarrow{AG}$. Vậy $\overrightarrow{AG}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AA'}$.
