Bài tự luận · Bài 26
Dạng 4. Sử dụng đồ thị hàm số lượng giác để xác định số nghiệm của phương trình lượng giác trên một tập hợp cho trước
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 26
(KNTT11) Tìm tất cả các nghiệm của phương trình $ \sin x=\cos x $ trên đoạn $ [-5\pi;10\pi] $.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có
$ \sin x=\cos x\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( \frac{\pi}{2}-x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}-x+k2\pi \\ x=\pi-\left( \frac{\pi}{2}-x \right)+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z}). $
Vì $ x\in[-5\pi;10\pi] $ nên $ -5\pi\leq\frac{\pi}{4}+k\pi\leq10\pi\Leftrightarrow -\frac{21}{4}\leq k\leq\frac{39}{4} $.
Mặt khác, vì $ k\in\mathbb{Z} $ nên $ k\in\{-5;-4;\ldots;9\} $.
Vậy phương trình đã cho có 15 nghiệm trên đoạn $ [-5\pi;10\pi] $ là $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $ với $ k\in\{-5;-4;\ldots;9\} $.
$ \sin x=\cos x\Leftrightarrow \sin x=\sin\left( \frac{\pi}{2}-x \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{2}-x+k2\pi \\ x=\pi-\left( \frac{\pi}{2}-x \right)+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi(k\in\mathbb{Z}). $
Vì $ x\in[-5\pi;10\pi] $ nên $ -5\pi\leq\frac{\pi}{4}+k\pi\leq10\pi\Leftrightarrow -\frac{21}{4}\leq k\leq\frac{39}{4} $.
Mặt khác, vì $ k\in\mathbb{Z} $ nên $ k\in\{-5;-4;\ldots;9\} $.
Vậy phương trình đã cho có 15 nghiệm trên đoạn $ [-5\pi;10\pi] $ là $ x=\frac{\pi}{4}+k\pi $ với $ k\in\{-5;-4;\ldots;9\} $.