Bài tự luận · Bài 27
Dạng 4. Sử dụng đồ thị hàm số lượng giác để xác định số nghiệm của phương trình lượng giác trên một tập hợp cho trước
Bài tự luận Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 27
(KNTT11) Tìm các giá trị của $ x $ để giá trị tương ứng của các hàm số sau bằng nhau:
a) $ y=\cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) $ và $ y=\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right) $;
b) $ y=\sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right) $ và $ y=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right) $.
a) $ y=\cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) $ và $ y=\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right) $;
b) $ y=\sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right) $ và $ y=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Giá trị tương ứng của hai hàm số $ y=\cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right) $ và $ y=\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right) $ bằng nhau nếu
$ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)=\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x-\frac{\pi}{4}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi}{3}=-(x-\frac{\pi}{4})+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
b) Giá trị tương ứng của hai hàm số $ y=\sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right) $ và $ y=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right) $ bằng nhau nếu
$ \sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{4}=x-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi}{4}=\pi-(x-\frac{\pi}{6})+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{24}+k\pi \\ x=\frac{17\pi}{48}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
$ \cos\left( 2x-\frac{\pi}{3} \right)=\cos\left( x-\frac{\pi}{4} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x-\frac{\pi}{3}=x-\frac{\pi}{4}+k2\pi \\ 2x-\frac{\pi}{3}=-(x-\frac{\pi}{4})+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{12}+k2\pi \\ x=\frac{7\pi}{36}+k\frac{2\pi}{3} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $
b) Giá trị tương ứng của hai hàm số $ y=\sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right) $ và $ y=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right) $ bằng nhau nếu
$ \sin\left( 3x-\frac{\pi}{4} \right)=\sin\left( x-\frac{\pi}{6} \right)\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3x-\frac{\pi}{4}=x-\frac{\pi}{6}+k2\pi \\ 3x-\frac{\pi}{4}=\pi-(x-\frac{\pi}{6})+k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\frac{\pi}{24}+k\pi \\ x=\frac{17\pi}{48}+k\frac{\pi}{2} \end{array} \right. (k\in\mathbb{Z}). $