Một miếng phômai có dạng hình lăng trụ như hình vẽ sau. Bạn An muốn chia miếng phômai thành hai phần lớn và bé. Cách làm của An như sau: Gọi $S$ là trung điểm của $AB$, lấy điểm $M$ thuộc đoạn thẳng $ES$ sao cho $ME = 2MS$. Mặt phẳng $(\alpha)$ là mặt phẳng đi qua $M$ và song song với mặt $(ADF)$. Lấy $N$ là giao điểm của $(\alpha)$ và $AC$. An sẽ dùng dao cắt miếng phômai theo mặt phẳng $(\alpha)$ và nhận được hai miếng phômai mới. Biết tỉ số khối lượng của miếng phômai lớn và bé bằng $\frac{AN}{NC}$. Tính $\frac{AN}{NC}$.

Lời giải Trong $(ABE)$, kẻ $IJ$ qua $M$ và song song với $AF$ với $I \in AB$, $J \in EF$. Trong $(ABC)$, kẻ $IK$ qua $I$ và song song với $AD$ với $I \in AB$, $K \in CD$. Khi đó mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $M$ và song song với $(ADF)$ chính là $(IJK)$ và $N$ là giao điểm của $IK$ và $AC$. Ta có: $$ \frac{AI}{BI} = \frac{AN}{NC} \quad (\text{do } IN \parallel BC) $$ $$ \frac{EJ}{IS} = \frac{ME}{MS} = 2 \quad (\text{do } IS \parallel JE) $$ Vì $BI = EJ$ (tứ giác $BIJE$ là hình bình hành) nên: $$ \frac{BI}{IS} = 2 \Rightarrow \frac{BI}{2} = \frac{IS}{1} = \frac{BI + IS}{2 + 1} = \frac{BS}{3} $$ $$ \Rightarrow BI = \frac{2}{3}BS, \quad IS = \frac{1}{3}BS $$ Ta có: $$ AI = AS + IS = BS + \frac{1}{3}BS = \frac{4}{3}BS $$ $$ \Rightarrow \frac{AI}{BI} = \frac{\frac{4}{3}BS}{\frac{2}{3}BS} = 2 \Rightarrow \frac{AN}{NC} = 2 $$