Bài tập nâng cao · Bài 32
F. BÀI TẬP NÂNG CAO Dạng 1. Xác suất liên quan số
Bài tập nâng cao Xác suất · Bài 32
Gọi $ S $ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có $ 5 $ chữ số. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập $ S, $ xác suất để chọn được một số chia hết cho $ 7 $ và chữ số hàng đơn vị bằng $ 1 $ là
Xem lời giải
Lời giải
Số các số tự nhiên có $ 5 $ chữ số là: $ 9\cdot10 ^ { 4 } \Rightarrow n\left ( { Ω } \right )=9\cdot10 ^ { 4 } $.
Giả sử số tự nhiên có $ 5 $ chữ số chia hết cho $ 7 $ và chữ số hàng đơn vị bằng $ 1 $ là $ abcd1. $
Ta có $ abcd1=10abcd+1=3.abcd+7.abcd+1 $ chia hết cho $ 7 $ $ \Leftrightarrow $ $ 3.abcd+1 $ chia hết cho $ 7. $
Đặt $ 3.abcd+1=7h\Leftrightarrow abcd=2h+\frac { h-1 } { 3 } $ là số nguyên khi và chỉ khi $ h=3t+1. $
Khi đó $ abcd=7t+2\xrightarrow 1000\leq 7t+2\leq 9999\Leftrightarrow \frac { 998 } { 7 }\leq t\leq \frac { 9997 } { 7 }\Leftrightarrow t\in \left \{ \begin{array}{l} 143,144,...,1428 \end{array} \right \}. $
Suy ra số cách chọn $ t $ sao cho số $ abcd1 $ chia hết cho $ 7 $ và chữ số hàng đơn vị bằng $ 1 $ là $ 1286 $ hay nói cách khác $ n\left ( { A } \right )=1286. $
Vậy xác suất cần tìm $ P=\frac { 1286 } { 90000 }. $
Giả sử số tự nhiên có $ 5 $ chữ số chia hết cho $ 7 $ và chữ số hàng đơn vị bằng $ 1 $ là $ abcd1. $
Ta có $ abcd1=10abcd+1=3.abcd+7.abcd+1 $ chia hết cho $ 7 $ $ \Leftrightarrow $ $ 3.abcd+1 $ chia hết cho $ 7. $
Đặt $ 3.abcd+1=7h\Leftrightarrow abcd=2h+\frac { h-1 } { 3 } $ là số nguyên khi và chỉ khi $ h=3t+1. $
Khi đó $ abcd=7t+2\xrightarrow 1000\leq 7t+2\leq 9999\Leftrightarrow \frac { 998 } { 7 }\leq t\leq \frac { 9997 } { 7 }\Leftrightarrow t\in \left \{ \begin{array}{l} 143,144,...,1428 \end{array} \right \}. $
Suy ra số cách chọn $ t $ sao cho số $ abcd1 $ chia hết cho $ 7 $ và chữ số hàng đơn vị bằng $ 1 $ là $ 1286 $ hay nói cách khác $ n\left ( { A } \right )=1286. $
Vậy xác suất cần tìm $ P=\frac { 1286 } { 90000 }. $