Bài tập nâng cao · Bài 23
Dạng 2. Phương trình đường thẳng
Bài tập nâng cao Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ · Bài 23
Cho $M(-1;1),N(1;-3)$. Đường tròn đi qua hai điểm $M,N$ và có tâm nằm trên đường thẳng $d:2x-y+1=0$ có bán kính là:
Xem lời giải
Lời giải
Cách 1:
Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn cần tìm.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}I(a;b)\in d\\IM=IN\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2a-b+1=0\\(-1-a)^2+(1-b)^2=(1-a)^2+(-3-b)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2a-b+1=0\\a-2b-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac43\\b=-\frac53\end{array}\right.$.
Bán kính $R=IM=\frac{\sqrt{65}}3$.
Cách 2:
Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;-4)$, trung điểm của $MN$ có tọa độ $(0;-1)$. Suy ra phương trình đường trung trực của $MN$ là $\Delta:(x-0)-2(y+1)=0\Leftrightarrow\Delta:x-2y-2=0$.
Tọa độ tâm $I$ của đường tròn đã cho là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\x-2y-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-\frac43\\y=-\frac53\end{array}\right.$.
Bán kính $R=IM=\frac{\sqrt{65}}3$.
Gọi $I(a;b)$ là tâm đường tròn cần tìm.
Ta có: $\left\{\begin{array}{l}I(a;b)\in d\\IM=IN\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2a-b+1=0\\(-1-a)^2+(1-b)^2=(1-a)^2+(-3-b)^2\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}2a-b+1=0\\a-2b-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a=-\frac43\\b=-\frac53\end{array}\right.$.
Bán kính $R=IM=\frac{\sqrt{65}}3$.
Cách 2:
Ta có $\overrightarrow{MN}=(2;-4)$, trung điểm của $MN$ có tọa độ $(0;-1)$. Suy ra phương trình đường trung trực của $MN$ là $\Delta:(x-0)-2(y+1)=0\Leftrightarrow\Delta:x-2y-2=0$.
Tọa độ tâm $I$ của đường tròn đã cho là nghiệm của hệ $\left\{\begin{array}{l}2x-y+1=0\\x-2y-2=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x=-\frac43\\y=-\frac53\end{array}\right.$.
Bán kính $R=IM=\frac{\sqrt{65}}3$.