Bài tập nâng cao · Bài 29
Bài tập nâng cao Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 29
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ, đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau?
Xem lời giải
Lời giải
Tập hợp các chữ số chẵn chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là $\left\{ \begin{array}{l} 0,2,4,6 \end{array} \right\}$.
Tập hợp các chữ số lẻ chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là $\left\{ \begin{array}{l} 1,3,5,7 \end{array} \right\}$.
+ Số các tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ có dạng $abcde$ ($a$ có thể bằng $0$), đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $C_{4} ^{3}.C_{4} ^{2}.4.2!.3!$.
(để ý: có 4 cách xếp sao cho hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $\left\{ \begin{array}{l} a,b \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} b,c \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} c,d \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} d,e \end{array} \right\}$).
+ Số các tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ có dạng $0bcde$, đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $C_{3} ^{2}.C_{4} ^{2}.3.2!2!$.
(để ý: có 3 cách xếp sao cho hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $\left\{ \begin{array}{l} b,c \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} c,d \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} d,e \end{array} \right\}$).
Suy ra, số các số tự nhiên thỏa đề ra là $C_{4} ^{3}.C_{4} ^{2}.4.2!.3!-C_{3} ^{2}.C_{4} ^{2}.3.2!2!=936$.
Tập hợp các chữ số lẻ chọn từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 là $\left\{ \begin{array}{l} 1,3,5,7 \end{array} \right\}$.
+ Số các tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ có dạng $abcde$ ($a$ có thể bằng $0$), đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $C_{4} ^{3}.C_{4} ^{2}.4.2!.3!$.
(để ý: có 4 cách xếp sao cho hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $\left\{ \begin{array}{l} a,b \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} b,c \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} c,d \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} d,e \end{array} \right\}$).
+ Số các tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ có dạng $0bcde$, đồng thời hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $C_{3} ^{2}.C_{4} ^{2}.3.2!2!$.
(để ý: có 3 cách xếp sao cho hai chữ số lẻ đứng liền nhau là $\left\{ \begin{array}{l} b,c \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} c,d \end{array} \right\},\left\{ \begin{array}{l} d,e \end{array} \right\}$).
Suy ra, số các số tự nhiên thỏa đề ra là $C_{4} ^{3}.C_{4} ^{2}.4.2!.3!-C_{3} ^{2}.C_{4} ^{2}.3.2!2!=936$.