Bài tự luận · Bài 42
Dạng 4. Chứng minh hệ thức tổ hợp
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 42
(CD10) Chứng minh rằng:
a) $C_n^{k}=C_n^{n-k}$ với $0\leq k\leq n$;
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_n^{k}$ với $1\leq k<n$.
a) $C_n^{k}=C_n^{n-k}$ với $0\leq k\leq n$;
b) $C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k}=C_n^{k}$ với $1\leq k<n$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
a) $C_n^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{[n-(n-k)]!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=C_n^{n-k}$.
b)
$\begin{aligned} C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} &=\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}+\frac{(n-1)!}{k![(n-1)-k]!} \\ &=(n-1)!\left[\frac{k}{k!(n-k)!}+\frac{n-k}{k!(n-k)!}\right]=\frac{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!} \\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^{k} \end{aligned}$
a) $C_n^{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{[n-(n-k)]!(n-k)!}=\frac{n!}{(n-k)![n-(n-k)]!}=C_n^{n-k}$.
b)
$\begin{aligned} C_{n-1}^{k-1}+C_{n-1}^{k} &=\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}+\frac{(n-1)!}{k![(n-1)-k]!} \\ &=(n-1)!\left[\frac{k}{k!(n-k)!}+\frac{n-k}{k!(n-k)!}\right]=\frac{(n-1)!(k+n-k)}{k!(n-k)!} \\ &=\frac{n!}{k!(n-k)!}=C_n^{k} \end{aligned}$