Bài tự luận · Bài 43
Dạng 4. Chứng minh hệ thức tổ hợp
Bài tự luận Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp · Bài 43
(CD10) Chứng minh rằng:
a) $kC_n^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ với $1\leq k\leq n$;
b) $\frac{1}{k+1}C_n^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ với $0\leq k\leq n$.
a) $kC_n^{k}=nC_{n-1}^{k-1}$ với $1\leq k\leq n$;
b) $\frac{1}{k+1}C_n^{k}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$ với $0\leq k\leq n$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có:
a) $kC_n^{k}=k\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{k\cdot n!}{k(k-1)!(n-k)!}=n\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}$ $=nC_{n-1}^{k-1}$.
b) $\frac{1}{k+1}C_n^{k}=\frac{1}{k+1}\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$ $=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$.
a) $kC_n^{k}=k\frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{k\cdot n!}{k(k-1)!(n-k)!}=n\frac{(n-1)!}{(k-1)![(n-1)-(k-1)]!}$ $=nC_{n-1}^{k-1}$.
b) $\frac{1}{k+1}C_n^{k}=\frac{1}{k+1}\cdot \frac{n!}{k!(n-k)!}=\frac{n!}{(k+1)!(n-k)!}$ $=\frac{1}{n+1}\cdot \frac{(n+1)!}{(k+1)![(n+1)-(k+1)]!}=\frac{1}{n+1}C_{n+1}^{k+1}$.