Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 16
Đường thẳng d có phương trình $y=x+4$ cắt đồ thị hàm số $y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4$ tại 3 điểm phân biệt $A(0;4)$, B và C sao cho diện tích của tam giác MBC bằng 4, với $M(1;3)$. Tìm giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Xem lời giải
Lời giải
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
$x^3+2mx^2+(m+3)x+4=x+4\Leftrightarrow x^3+2mx^2+(m+2)x=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x^2+2mx+(m+2)=0\quad(*)\end{array}\right.$.
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-m-2>0\\m+2\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>2\end{array}\right.\\m\ne-2\end{array}\right.$.
Giả sử B$(x_1;x_1+4)$; C$(x_2;x_2+4)$ với $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình (*) khi đó $BC=\sqrt{2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2(x_1+x_2)^2-8x_1.x_2}=\sqrt{8m^2-8m-16}$.
$S_{MBC}=\frac12BC.d(M,d)=\frac12.BC.\frac{|1-3+4|}{\sqrt2}=4\Rightarrow BC=4\sqrt2$.
Ta có $m^2-m-6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2\\m=3\end{array}\right.$.
Đối chiếu điều kiện ta có $m=3$.
$x^3+2mx^2+(m+3)x+4=x+4\Leftrightarrow x^3+2mx^2+(m+2)x=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x^2+2mx+(m+2)=0\quad(*)\end{array}\right.$.
Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm phân biệt khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt khác 0 $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-m-2>0\\m+2\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>2\end{array}\right.\\m\ne-2\end{array}\right.$.
Giả sử B$(x_1;x_1+4)$; C$(x_2;x_2+4)$ với $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình (*) khi đó $BC=\sqrt{2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2(x_1+x_2)^2-8x_1.x_2}=\sqrt{8m^2-8m-16}$.
$S_{MBC}=\frac12BC.d(M,d)=\frac12.BC.\frac{|1-3+4|}{\sqrt2}=4\Rightarrow BC=4\sqrt2$.
Ta có $m^2-m-6=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=-2\\m=3\end{array}\right.$.
Đối chiếu điều kiện ta có $m=3$.