Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in[-2018;2019]$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+3$ và đường thẳng $y=3x+1$ có duy nhất một điểm chung?
Xem lời giải
Lời giải
+ Phương trình hoành độ giao điểm: $x^3-3mx+3=3x+1\Leftrightarrow3mx=x^3-3x+2$. $(1)$
+ Dễ thấy $x=0$ không thỏa.
+ $(1)\Leftrightarrow3m=x^2-3+\frac2x=f(x)$.
+ $f'(x)=2x-\frac2{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}=0\Leftrightarrow x=1$.
+ Bảng biến thiên:
+ Đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+3$ và đường thẳng $y=3x+1$ có duy nhất một điểm chung $\Leftrightarrow3m<0\Leftrightarrow m<0$.
+ Do $m\in\mathbb{Z}$ và $m\in[-2018;2019]$ nên có $2018$ giá trị.
