Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 14
Tính tổng tất cả các giá trị của $m$ biết đồ thị hàm số $y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4$ và đường thẳng $y=x+4$ cắt nhau tại ba điểm phân biệt $A(0;4)$, $B$, $C$ sao cho diện tích tam giác $IBC$ bằng $8\sqrt2$ với $I(1;3)$.
Xem lời giải
Lời giải
+) Gọi đồ thị hàm số $y=x^3+2mx^2+(m+3)x+4$ là $(C_m)$ và đồ thị hàm số $y=x+4$ là $(d)$.
+) Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_m)$ và $(d)$ là
$x^3+2mx^2+(m+3)x+4=x+4\Leftrightarrow x^3+2mx^2+(m+2)x=0\quad(*)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x^2+2mx+m+2=0\end{array}\right.$
+) Gọi $g(x)=x^2+2mx+m+2$.
+) $(d)$ cắt $(C_m)$ tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow$ phương trình $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta'_g>0\\g(0)\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-m-2>0\\m+2\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>2\end{array}\right.\\m\ne-2\end{array}\right.\quad(a)$
+) $x=0$ là hoành độ điểm $A$, hoành độ điểm $B$, $C$ là hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình $g(x)=0$
+) $BC^2=(x_2-x_1)^2+[(x_2+4)-(x_1+4)]^2$
$=2(x_2-x_1)^2$ (do $B$, $C$ thuộc đường thẳng $(d)$
$=2[(x_2+x_1)^2-4x_1x_2]$
$=8(m^2-m-2)$
+) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ dưới dạng $x-y+4=0$, ta có
$d(I,(d))=\frac{|1-3+4|}{\sqrt2}=\sqrt2$.
+) $S_{IBC}=8\sqrt2\Leftrightarrow\frac12BC.d(I,(d))=8\sqrt2\Leftrightarrow\frac14BC^2.[d(I,(d))]^2=128$
$\Leftrightarrow\frac14.8(m^2-m-2).2=128$
$\Leftrightarrow m^2-m-34=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{1+\sqrt{137}}2\\m=\frac{1-\sqrt{137}}2\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện $(a)$)
+) Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $1$.
+) Phương trình hoành độ giao điểm của $(C_m)$ và $(d)$ là
$x^3+2mx^2+(m+3)x+4=x+4\Leftrightarrow x^3+2mx^2+(m+2)x=0\quad(*)\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x^2+2mx+m+2=0\end{array}\right.$
+) Gọi $g(x)=x^2+2mx+m+2$.
+) $(d)$ cắt $(C_m)$ tại ba điểm phân biệt $\Leftrightarrow$ phương trình $(*)$ có ba nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow$ phương trình $g(x)=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $0$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta'_g>0\\g(0)\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-m-2>0\\m+2\ne0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>2\end{array}\right.\\m\ne-2\end{array}\right.\quad(a)$
+) $x=0$ là hoành độ điểm $A$, hoành độ điểm $B$, $C$ là hai nghiệm $x_1$, $x_2$ của phương trình $g(x)=0$
+) $BC^2=(x_2-x_1)^2+[(x_2+4)-(x_1+4)]^2$
$=2(x_2-x_1)^2$ (do $B$, $C$ thuộc đường thẳng $(d)$
$=2[(x_2+x_1)^2-4x_1x_2]$
$=8(m^2-m-2)$
+) Viết phương trình đường thẳng $(d)$ dưới dạng $x-y+4=0$, ta có
$d(I,(d))=\frac{|1-3+4|}{\sqrt2}=\sqrt2$.
+) $S_{IBC}=8\sqrt2\Leftrightarrow\frac12BC.d(I,(d))=8\sqrt2\Leftrightarrow\frac14BC^2.[d(I,(d))]^2=128$
$\Leftrightarrow\frac14.8(m^2-m-2).2=128$
$\Leftrightarrow m^2-m-34=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=\frac{1+\sqrt{137}}2\\m=\frac{1-\sqrt{137}}2\end{array}\right.$ (thỏa điều kiện $(a)$)
+) Vậy tổng tất cả các giá trị $m$ là $1$.