Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 13
(THCS - THPT Nguyễn Khuyến 2019) Phương trình $x^3-6mx+5=5m^2$ có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng khi $m=?$
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương: $x^3-6mx+5-5m^2=0$.
Đặt $y=f(x)=x^3-6mx+5-5m^2$ có $f'(x)=3x^2-6m$; $f''(x)=6x$.
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ Hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow f'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $f(x_1).f(x_2)<0$.
3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên $x_2-x_1=x_3-x_2$.
Suy ra, $x_2$ là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của $f''$.
Cho $f''(x)=0\Rightarrow6x=0\Leftrightarrow x=0$.
Với $x=0$ ta có: $5-5m^2=0\Leftrightarrow m=\pm1$.
Thử lại:
Với $m=1$ thì ta có $x^3-6x+5=5\Leftrightarrow x(x^2-6)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm\sqrt6\end{array}\right.$
Với $m=-1$ thì ta có: $x^3+6x+5=5\Leftrightarrow x(x^2+6)=0\Leftrightarrow x=0$
Đặt $y=f(x)=x^3-6mx+5-5m^2$ có $f'(x)=3x^2-6m$; $f''(x)=6x$.
PT đã cho có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ Hàm số $y=f(x)$ cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
$\Leftrightarrow f'(x)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ thỏa mãn $f(x_1).f(x_2)<0$.
3 nghiệm đó lập thành cấp số cộng nên $x_2-x_1=x_3-x_2$.
Suy ra, $x_2$ là hoành độ của tâm đối xứng hay là nghiệm của $f''$.
Cho $f''(x)=0\Rightarrow6x=0\Leftrightarrow x=0$.
Với $x=0$ ta có: $5-5m^2=0\Leftrightarrow m=\pm1$.
Thử lại:
Với $m=1$ thì ta có $x^3-6x+5=5\Leftrightarrow x(x^2-6)=0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=0\\x=\pm\sqrt6\end{array}\right.$
Với $m=-1$ thì ta có: $x^3+6x+5=5\Leftrightarrow x(x^2+6)=0\Leftrightarrow x=0$