Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Hàm số bậc ba · Bài 12
(Chuyên Lê Thánh Tông 2019) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m\in[-2018;2019]$ để đồ thị hàm số $y=x^3-3mx+3$ và đường thẳng $y=3x+1$ có duy nhất một điểm chung?
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm:
$x^3-3mx+3=3x+1\Leftrightarrow x^3-3x+2=3mx\Leftrightarrow3m=\frac{x^3-3x+2}{x}$ (1).
Xét hàm $f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x}=x^2-3+\frac2x$; $f'(x)=2x-\frac2{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên.
$\begin{array}{c|cccc}x&-\infty&0&1&+\infty\\\hline f'(x)&-&\Vert&0&+\\f(x)&+\infty\searrow-\infty&\Vert&+\infty\searrow0&\nearrow+\infty\end{array}$
Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m<0$. Mà $m$ nguyên và $m\in[-2018;2019]$ nên có $2018$ giá trị thỏa mãn.
$x^3-3mx+3=3x+1\Leftrightarrow x^3-3x+2=3mx\Leftrightarrow3m=\frac{x^3-3x+2}{x}$ (1).
Xét hàm $f(x)=\frac{x^3-3x+2}{x}=x^2-3+\frac2x$; $f'(x)=2x-\frac2{x^2}=\frac{2x^3-2}{x^2}$; $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$.
Bảng biến thiên.
$\begin{array}{c|cccc}x&-\infty&0&1&+\infty\\\hline f'(x)&-&\Vert&0&+\\f(x)&+\infty\searrow-\infty&\Vert&+\infty\searrow0&\nearrow+\infty\end{array}$
Khi đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow m<0$. Mà $m$ nguyên và $m\in[-2018;2019]$ nên có $2018$ giá trị thỏa mãn.