Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 2

Gọi $ O $ tâm hình vuông $ ABCD $$ \Rightarrow $ tứ diện $ OSCD $ có $ OS,\,OC,\,OD $ đôi một vuông góc.
Gọi $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ lên mặt phẳng $ \left ( { SCD } \right ) $$ \Rightarrow $$ H $ là trực tâm $ \Delta SCD $.
Nối $ C $ với $ H $ cắt $ SD $ tại một điểm, điểm đó là $ E $ và $ \left ( { P } \right )=\left ( { ACE } \right ) $.
$ V_{ 1 } =\frac { 1 } { 5 }V\Rightarrow V_{ 1 } =\frac { 2 } { 5 }V_{ S.ACD } =\frac { 2 } { 5 }V_{ D.ACS } \Rightarrow DE=\frac { 2 } { 5 }DS\Rightarrow SE=\frac { 3 } { 5 }DS. $
Đặt: $ SD=5a,\,\left ( { a>0 } \right ) $ suy ra $ DE=2a,\,SE=3a $.
Vì $ AC⊥\left ( { SBD } \right )\Rightarrow SD⊥AC $ và $ SD⊥CE $ nên $ SD⊥\left ( { ACE } \right ) $.
Gọi $ I $ là giao điểm của $ SH $với $ CD $$ \Rightarrow SI⊥CD,\,OI⊥CD $ và $ I $ là trung điểm của$ CD $.
Gọi $ φ $ là góc giữa $ \left ( { SCD } \right ) $ và $ \left ( { ABCD } \right ) $$ \Rightarrow φ= \widehat { SIO } $.
Trong tam giác $ SOD $ vuông tại $ O $, $ OE $ là đường cao
$ \Rightarrow \left \{ \begin{array}{l} (OD)^2 =ED.SD=10a ^ { 2 } \\ (SO)^2 =SE.SD=15a ^ { 2 } \end{array} \right.\Leftrightarrow \left \{ \begin{array}{l} OD=a\sqrt[] { 10 } \\ SO=a\sqrt[] { 15 } \end{array} \right.\Rightarrow CD=2a\sqrt[] { 5 }. $
Do đó $ OI=\frac { 1 } { 2 }CD=a\sqrt[] { 5 } $ và $ SI=2a\sqrt[] { 5 } $$ \Rightarrow cosφ=\frac { OI } { SI }=\frac { 1 } { 2 }. $