Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 3

Gọi $ R $ là bán kính hình cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABC $.
Ta có: $ \frac { 4 } { 3 }\pi R ^ { 3 } =\frac { 5\sqrt[] { 5 } } { 6 }\pi a ^ { 3 } $$ \Leftrightarrow R=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 2 } $.
Gọi $ H $ là trung điểm đoạn thẳng $ BC $ và $ I $ là trung điểm đoạn thẳng $ SA $.
Vì tam giác $ SAB $ vuông tại $ B $ nên ta có $ IA=IB=IS $; tam giác $ SAC $ vuông tại $ C $ nên ta có $ IA=IC=IS $. Như vậy $ IA=IB=IC=IS $, nên $ I $ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $ S.ABC $.
Vì thế $ IA=R=\frac { a\sqrt[] { 5 } } { 2 } $.
Ta có tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ nên $ H $ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $ ABC $. Suy ra $ IH⊥\left ( { ABC } \right ) $. Mà $ I $ là trung điểm của $ SA $ nên $ d\left ( { S,\left ( { ABC } \right ) } \right ) $$ =2d\left ( { I,\left ( { ABC } \right ) } \right ) $$ =2IH $.
Xét tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ ta có: $ BC=\sqrt[] { (AB)^2 +(AC)^2 }=2a $. Suy ra $ AH=\frac { BC } { 2 }=a $.
Xét tam giác $ IAH $ vuông tại $ H $ ta có: $ IH=\sqrt[] { (IA)^2 -(AH)^2 }=\sqrt[] { \frac { 5a ^ { 2 } } { 4 }-a ^ { 2 } }=\frac { a } { 2 } $.
Chiều cao hình chóp $ S.ABC $ là $ h=d\left ( { S,\left ( { ABC } \right ) } \right )=2IH=a $.
Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V=\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABC } .h $$ =\frac { 1 } { 3 }.\left ( { \frac { 1 } { 2 }.a.a\sqrt[] { 3 } } \right ).a $$ =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 6 } $.