Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 4

Vẽ $ AH⊥\left ( { BCD } \right ) $, $ H\in \left ( { BCD } \right ) $.
Vẽ $ HK\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,BC $, $ K\in BD $, có $ BD⊥BC $$ \Rightarrow HK⊥BD $, mà $ AH⊥BD $.
$ \Rightarrow BD⊥\left ( { AHK } \right ) $$ \Rightarrow BD⊥AK $.
Nên $ \left ( { \widehat { \left ( { ABD } \right ),\left ( { BCD } \right ) } } \right )\,=\,\, \widehat { AKH }\,\,=30° $
Vẽ $ HM\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,BD $, $ M\in BD $, có $ BC⊥BD $$ \Rightarrow HM⊥BC $, mà $ AH⊥BC $.
$ \Rightarrow BC⊥AM $, có góc $ \widehat { ABC }=135° $.
Suy ra $ \widehat { ABM }=45° $ (nên $ B $ ở giữa $ M $ và $ C $).
$ \Delta AMB $ vuông tại $ M $ có $ \widehat { ABM }=45° $.
Suy ra $ \Delta AMB $ vuông cân tại $ B $$ \Rightarrow AM=MB=\frac { AB } { \sqrt[] { 2 } }=\frac { a } { \sqrt[] { 2 } } $.
Tứ giác $ BKHM $ là hình chữ nhật, nên $ BM=HK $.
$ \Delta AHK $ vuông tại $ H $ có $ \widehat { AKH }=30° $, nên $ AH=\frac { HK } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a } { \sqrt[] { 6 } } $, $ AK=2AH=\frac { 2a } { \sqrt[] { 6 } } $.
$ \Delta BAD $ vuông tại $ A $ có $ AK $ là đường cao nên $ \frac { 1 } { (AK)^2 }=\frac { 1 } { (AB)^2 }+\frac { 1 } { (AD)^2 } $.
$ \Rightarrow \frac { 3 } { 2a ^ { 2 } }=\frac { 1 } { a ^ { 2 } }+\frac { 1 } { (AD)^2 } $$ \Rightarrow \frac { 1 } { (AD)^2 }=\frac { 1 } { 2a ^ { 2 } } $$ \Rightarrow AD=a\sqrt[] { 2 } $ và $ BD=\sqrt[] { (AB)^2 +(AD)^2 }=a\sqrt[] { 3 } $.
Có $ BC=CM-BM $, $ (CM)^2 =(CA)^2 -(AM)^2 =5a ^ { 2 } -\frac { a ^ { 2 } } { 2 }=\frac { 9a ^ { 2 } } { 2 } $
$ \Rightarrow BC=\frac { 3a } { \sqrt[] { 2 } }-\frac { a } { \sqrt[] { 2 } }=a\sqrt[] { 2 } $
Có $ V=\frac { 1 } { 3 }AH.S_{ BCD } =\frac { 1 } { 6 }AH.BD.BC $ $ =\frac { 1 } { 6 }\frac { a } { \sqrt[] { 6 } }.a\sqrt[] { 3 }.a\sqrt[] { 2 } $ $ =\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $
Vậy $ V=\frac { a ^ { 3 } } { 6 } $.