Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 5

Theo giả thiết ta có tam giác $ ABD $ và $ BCD $ đều cạnh $ a $, hình chóp $ S.ABCD $ và tứ diện $ ACMN $ nhận mặt phẳng $ \left ( { SBD } \right ) $ làm mặt phẳng đối xứng.
Vậy $ \frac { V_{ ACMN } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { V_{ AMNO } } { V_{ S.ABD } } $.
Hai khối chóp $ AMNO $ và $ SABD $ có cùng chung đỉnh $ A $ nên $ \frac { V_{ AMNO } } { V_{ S.ABD } }=\frac { S_{ MNO } } { S_{ SBD } } $.
Mà $ OM $ là đường trung bình của tam giác $ SBD $ nên $ OM//SD\Rightarrow S_{ MNO } =S_{ MDO } =\frac { 1 } { 4 }S_{ SBD } $.
Suy ra $ \frac { V_{ AMNO } } { V_{ S.ABD } }=\frac { S_{ MNO } } { S_{ SBD } }=\frac { 1 } { 4 } $.

Gọi $ I $,$ K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ D,H $ trên $ BC $.
Dễ thấy góc giữa mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và mặt phẳng đáy chính là góc $ \widehat { SKH } $.
Tam giác $ SHK $ có $ \frac { HK } { DI }=\frac { 3 } { 4 }\Rightarrow HK=\frac { 3 } { 4 }DI=\frac { 3 } { 4 }.\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3a\sqrt[] { 3 } } { 8 } $, $ tan \widehat { SKH }=\frac { SH } { HK }\Rightarrow SH=\sqrt[] { 3 }.HK=\frac { 9a } { 8 } $.
Vậy $ V_{ S.ABCD } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABCD } .SH=\frac { 1 } { 3 }.2\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }.\frac { 9a } { 8 }=\frac { 3a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 16 }\Rightarrow V=\frac { 1 } { 4 }V_{ S.ABCD } =\frac { 3a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 64 } $.