Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 6

Gọi $ I,\,J $ lần lượt là trung điểm của $ AB,\,CD $.
$ \Delta \,SAB $ đều cạnh a $ \Rightarrow SI⊥AB $, $ SI=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $
$ \Delta \,SCD $vuông cân tại $ S $, $ CD=a $$ \Rightarrow SJ⊥CD $, $ SJ=\frac { a } { 2 } $; mà $ AB\,\,//\,CD $ $ \Rightarrow SJ⊥AB $
$ \Rightarrow \left ( { SIJ } \right )⊥AB $; do $ AB⊂\left ( { ABCD } \right ) $$ \Rightarrow \left ( { SIJ } \right )⊥\left ( { ABCD } \right ) $
Lại có $ \left ( { SIJ } \right )∩\left ( { ABCD } \right )\,=\,IJ $
Gọi $ H $ là chân đường cao hạ từ $ S $ của tam giác $ \Delta \,SIJ $$ \Rightarrow SH⊥IJ $, và $ SH⊂\left ( { SIJ } \right ) $
$ \Rightarrow SH⊥\left ( { ABCD } \right ) $; mà $ BM⊂\left ( { ABCD } \right ) $ $ \Rightarrow SH⊥BM $
Đề bài có $ SA⊥BM $, từ đó $ BM⊥\,\left ( { SAH } \right ) $$ \Rightarrow BM⊥\,AH $.
$ \Delta \,SIJ $có $ (SI)^2 +(SJ)^2 =a ^ { 2 } $, $ (IJ)^2 =a ^ { 2 } $$ \Rightarrow (SI)^2 +(SJ)^2 =(IJ)^2 $$ \Rightarrow \Delta SIJ $vuông tại $ S $, có $ SH $ là đường cao $ \Rightarrow \frac { 1 } { (SH)^2 }=\frac { 1 } { (SI)^2 }+\frac { 1 } { (SJ)^2 }=\frac { 16 } { 3a ^ { 2 } } $$ \Rightarrow SH=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
$ \Delta \,SIH $vuông tại $ H $$ \Rightarrow IH=\frac { 3a } { 4 } $.

Trong mp$ \,\left ( { ABCD } \right ) $, với hình vuông $ ABCD $ cạnh a
Đặt $ \overset\rightarrow { CM }=x\overset\rightarrow { AB }\, $ $ \Rightarrow \,\overset\rightarrow { BM }=\overset\rightarrow { BC }+\overset\rightarrow { CM }=x\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } $
Mà $ \,\overset\rightarrow { AH }=\overset\rightarrow { AI }+\overset\rightarrow { IH }=\frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AD } $
Do $ BM⊥AH $ $ \Rightarrow \overset\rightarrow { BM }.\overset\rightarrow { AH }=0 $ $ \Rightarrow \left ( { x\overset\rightarrow { AB }+\overset\rightarrow { AD } } \right ).\left ( { \frac { 1 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }+\frac { 3 } { 4 }\overset\rightarrow { AD } } \right )=0 $ $ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }x.(AB)^2 +\frac { 3 } { 4 }.(AD)^2 =0 $
$ \Rightarrow \frac { 1 } { 2 }x.a ^ { 2 } +\frac { 3 } { 4 }.a ^ { 2 } =0 $$ \Rightarrow x=-\frac { 3 } { 2 } $$ \Rightarrow \overset\rightarrow { CM }=-\frac { 3 } { 2 }\overset\rightarrow { AB }\, $ $ \Rightarrow CM=\frac { 3 } { 2 }a $ (Hoặc dùng tam giác đồng dạng)
$ \Rightarrow DM=\frac { a } { 2 } $$ \Rightarrow S_{ \Delta BDM } =\frac { 1 } { 2 }BC.DM=\frac { a ^ { 2 } } { 4 } $.
Thể tích cần tính là: $ V_{ S.BDM } =\frac { 1 } { 3 }SH.S_{ \Delta BDM } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 48 } $.