Bài tập nâng cao · Bài 7
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 7
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy$ ABCD $ là hình bình hành, $ M $là trung điểm $ AD $. Gọi $ S' $ là giao của $ SC $ với mặt phẳng chứa $ BM $ và song song với $ SA $. Tính tỉ số thể tích của hai khối $ S'.BCDM $ và $ S.ABCD $
Xem lời giải
Lời giải
Gọi thể tích của khối chóp $ S.ABCD $ là $ V $, khi đó thể tích khối chóp $ V_{ S.ABC } =V_{ S.ACD } =\frac { 1 } { 2 }V $.
Gọi $ BM $ cắt $ AC $ tại $ I $, khi đó ta có $ S'I\parallel SA $. Ta có $ \Delta AIM $đồng dạng với $ \Delta CIB $($ AM\parallel BC $ nên ta có $ \frac { AI } { CI }=\frac { MI } { BI }=\frac { AM } { CB }=\frac { 1 } { 2 } $. Gọi $ HK $ đi qua $ I $ và vuông góc với $ BC $ ta có $ \frac { HI } { KI }=\frac { 1 } { 2 } $.
Ta có $ \Delta CS'I\sim \Delta CSA $ khi đó $ \frac { CS' } { CS }=\frac { CI } { CA }=\frac { 2 } { 3 } $
Ta có $ \frac { V_{ S.AS'D } } { V_{ S.ACD } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SS' } { SC }.\frac { SD } { SD }=1.\frac { 1 } { 3 }.1=\frac { 1 } { 3 } $ suy ra $ V_{ S.AS'D } =\frac { 1 } { 3 }V_{ S.ACD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }V=\frac { 1 } { 6 }V $
$ V_{ S'.ACD } =V_{ S.ACD } -V_{ S.AS'D } =\frac { 1 } { 2 }V-\frac { 1 } { 6 }V=\frac { 1 } { 3 }V $.
Ta có $ \frac { S_{ AIM } } { S_{ CIB } }=\frac { IH } { IK }.\frac { AM } { BC }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 } $ $ \Rightarrow S_{ CIB } =4S_{ AIM } $.
Tương tự $ \frac { S_{ AIM } } { S_{ ACD } }=\frac { IH } { HK }.\frac { AM } { AD }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 6 } $ suy ra $ S_{ ACD } =6S_{ AIM } $ $ \Rightarrow S_{ ICDM } =5S_{ AIM } $
Từ đó ta có $ \frac { V_{ S'.AIM } } { V_{ S'.ACD } }=\frac { S_{ AIM } } { S_{ ACD } }=\frac { 1 } { 6 } $ $ \Rightarrow V_{ S'.AIM } =\frac { 1 } { 6 }V_{ S'.ACD } =\frac { 1 } { 6 }.\frac { 1 } { 3 }V=\frac { 1 } { 18 }V $
Từ đó ta suy ra $ V_{ S'.ICDM } =\frac { 5 } { 18 }V $, $ V_{ S'.BIC } =\frac { 4 } { 18 }V=\frac { 2 } { 9 }V $
Khi đó $ V_{ S'.BCDM } =V_{ S'.BIC } +V_{ S'.ICDM } =\frac { 2 } { 9 }V+\frac { 5 } { 18 }V=\frac { 1 } { 2 }V $. Do đó $ \frac { V_{ S'.BCDM } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 1 } { 2 }V:V=\frac { 1 } { 2 } $.
Gọi $ BM $ cắt $ AC $ tại $ I $, khi đó ta có $ S'I\parallel SA $. Ta có $ \Delta AIM $đồng dạng với $ \Delta CIB $($ AM\parallel BC $ nên ta có $ \frac { AI } { CI }=\frac { MI } { BI }=\frac { AM } { CB }=\frac { 1 } { 2 } $. Gọi $ HK $ đi qua $ I $ và vuông góc với $ BC $ ta có $ \frac { HI } { KI }=\frac { 1 } { 2 } $.
Ta có $ \Delta CS'I\sim \Delta CSA $ khi đó $ \frac { CS' } { CS }=\frac { CI } { CA }=\frac { 2 } { 3 } $
Ta có $ \frac { V_{ S.AS'D } } { V_{ S.ACD } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SS' } { SC }.\frac { SD } { SD }=1.\frac { 1 } { 3 }.1=\frac { 1 } { 3 } $ suy ra $ V_{ S.AS'D } =\frac { 1 } { 3 }V_{ S.ACD } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }V=\frac { 1 } { 6 }V $
$ V_{ S'.ACD } =V_{ S.ACD } -V_{ S.AS'D } =\frac { 1 } { 2 }V-\frac { 1 } { 6 }V=\frac { 1 } { 3 }V $.
Ta có $ \frac { S_{ AIM } } { S_{ CIB } }=\frac { IH } { IK }.\frac { AM } { BC }=\frac { 1 } { 2 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 4 } $ $ \Rightarrow S_{ CIB } =4S_{ AIM } $.
Tương tự $ \frac { S_{ AIM } } { S_{ ACD } }=\frac { IH } { HK }.\frac { AM } { AD }=\frac { 1 } { 3 }.\frac { 1 } { 2 }=\frac { 1 } { 6 } $ suy ra $ S_{ ACD } =6S_{ AIM } $ $ \Rightarrow S_{ ICDM } =5S_{ AIM } $
Từ đó ta có $ \frac { V_{ S'.AIM } } { V_{ S'.ACD } }=\frac { S_{ AIM } } { S_{ ACD } }=\frac { 1 } { 6 } $ $ \Rightarrow V_{ S'.AIM } =\frac { 1 } { 6 }V_{ S'.ACD } =\frac { 1 } { 6 }.\frac { 1 } { 3 }V=\frac { 1 } { 18 }V $
Từ đó ta suy ra $ V_{ S'.ICDM } =\frac { 5 } { 18 }V $, $ V_{ S'.BIC } =\frac { 4 } { 18 }V=\frac { 2 } { 9 }V $
Khi đó $ V_{ S'.BCDM } =V_{ S'.BIC } +V_{ S'.ICDM } =\frac { 2 } { 9 }V+\frac { 5 } { 18 }V=\frac { 1 } { 2 }V $. Do đó $ \frac { V_{ S'.BCDM } } { V_{ S.ABCD } }=\frac { 1 } { 2 }V:V=\frac { 1 } { 2 } $.