Cho hình lăng trụ $ ABC{ \rm{ } }.{ \rm{ } }A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ a $, $ M $ là trung điểm của $ BC. $ Biết tam giác $ AA'M $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ mp\left ( { ABC } \right ). $ Thể tích khối chóp $ A'.{ \rm{ } }BCC'B' $ bằng:

Question

Dạng 1. Thể tích khối chóp Cho hình lăng trụ $ ABC{ \rm{ } }.{ \rm{ } }A'B'C' $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh $ a $, $ M $ là trung điểm của $ BC. $ Biết tam giác $ AA'M $ đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với $ mp\left ( { ABC } \right ). $ Thể tích khối chóp $ A'.{ \rm{ } }BCC'B' $ bằng:

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 1/image357.png] Gọi $ H $ là trung điểm của $ AM, $ tam giác $ AA'M $ là tam giác đều nên $ A'H $ vuông góc với $ AM. $Theo giả thiết $ \left ( { AA'M } \right ) $ vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ), $ nên $ A'H $ vuông góc với $ \left ( { ABC } \right ). $ Tam giác $ ABC $ đều, cạnh bằng $ a $ nên tam giác $ AA'M $ đều cạnh bằng $ AM=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 }, $ nên $ A'H=\frac { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right )\sqrt[] { 3 } } { 2 }=\frac { 3a } { 4 }. $ Tam giác $ ABC $ đều, cạnh bằng $ a $ có diện tích $ S_{ ABC } =\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }. $ Thể tích khối chóp $ A'.BCC'B' $ bằng: $ V_{ A'.BCC'B' } =V_{ A'B'C'.ABC } -V_{ A'.ABC } =A'H.S_{ ABC } -\frac { 1 } { 3 }.A'H.S_{ ABC } =\frac { 2 } { 3 }.A'H.S_{ ABC } =\frac { 2 } { 3 }.\frac { 3a } { 4 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 2a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 16 } $$ \Leftrightarrow V_{ A'.BCC'B' } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 3 } } { 8 }. $

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 8