Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $, từ $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 } $, từ $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 30 } } { 20 } $.và hình chiếu vuông góc của $ S $ xuống đáy nằm trong tam giác $ ABC $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ bằng

Question

Dạng 1. Thể tích khối chóp Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết khoảng cách từ $ A $ đến mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 } $, từ $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAC } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 15 } } { 10 } $, từ $ C $ đến mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ là $ \frac { \sqrt[] { 30 } } { 20 } $.và hình chiếu vuông góc của $ S $ xuống đáy nằm trong tam giác $ ABC $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ bằng

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-36. THE TICH/F. BAI TAP NANG CAO 1/image389.png] Gọi $ O $ là chân đường cao hạ từ $ S $ xuống mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ Đặt $ d\left ( { A,BC } \right )=a,d\left ( { B,AC } \right )=b,d\left ( { C,AB } \right )=c,SO=h $ Ta có $ S_{ \Delta ABC } =S_{ \Delta OBC } +S_{ \Delta OAC } +S_{ \Delta OAB } \Rightarrow a+b+c=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\left ( { 1 } \right ) $( vì $ \Delta ABC $ đều cạch bằng 1) Mặt khác $ \frac { d\left ( { O,\left ( { SBC } \right ) } \right ) } { d\left ( { A,\left ( { SBC } \right ) } \right ) }=\frac { OM } { AM }=\frac { OI } { AK }=\frac { 2a } { \sqrt[] { 3 } }\Rightarrow d\left ( { O,\left ( { SBC } \right ) } \right )=\frac { 2a } { \sqrt[] { 3 } }.\frac { \sqrt[] { 6 } } { 4 }=\frac { a } { \sqrt[] { 2 } } $ $ \Rightarrow \frac { 2 } { a ^ { 2 } }=\frac { 1 } { h ^ { 2 } }+\frac { 1 } { a ^ { 2 } }\Rightarrow a=h $ Tương tự, $\frac{d(O,(SAC))}{d(B,(SAC))}=\frac{d(O,AC)}{d(B,AC)}=\frac{2b}{\sqrt3}$ nên $d(O,(SAC))=\frac{2b}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt{15}}{10}=\frac{b}{\sqrt5}$. $ \Rightarrow \frac { 5 } { b ^ { 2 } }=\frac { 1 } { h ^ { 2 } }+\frac { 1 } { b ^ { 2 } }\Rightarrow b=2h $ Tương tự, $\frac{d(O,(SAB))}{d(C,(SAB))}=\frac{d(O,AB)}{d(C,AB)}=\frac{2c}{\sqrt3}$ nên $d(O,(SAB))=\frac{2c}{\sqrt3}\cdot\frac{\sqrt{30}}{20}=\frac{c}{\sqrt{10}}$. $ \Rightarrow \frac { 10 } { c ^ { 2 } }=\frac { 1 } { h ^ { 2 } }+\frac { 1 } { c ^ { 2 } }\Rightarrow c=3h $ $ \Rightarrow a+b+c=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }\Leftrightarrow h=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 12 }\Rightarrow V=\frac { 1 } { 3 }.SO.S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 48 } $

Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 9