Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác cân tại $ A $, biết $ SA⊥\left ( { ABC } \right ) $, $ BC=2a $, $ \widehat { BAC }=120° $, góc giữa mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $ và $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 45° $. Tính thể tích khối chóp $ S.ABC $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ M $ là trung điểm đoạn thẳng $ BC $.
Vì tam giác $ ABC $ cân tại $ A $ nên $ AM $ là đường trung tuyến, đường phân giác, đường cao của nó.
Suy ra $ \widehat { MAB }=60° $.
Xét tam giác $ ABM $ vuông tại $ M $ ta có: $ AM=BM.cot \widehat { BAM }=a.cot60°=\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Diện tích tam giác $ ABC $ là $ S_{ ABC } =\frac { 1 } { 2 }.BC.AM=\frac { 1 } { 2 }.2a.\frac { a } { \sqrt[] { 3 } }=\frac { a ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } } $.
Xét tam giác $ SAB $ và $ SAC $ ta có: $ SA $ chung; $ \widehat { SAB }= \widehat { SAC }=90° $; $ AB=AC $.
Do đó $ \Delta SAB=\Delta SAC $$ \Rightarrow SB=SC\Rightarrow SM⊥BC $.
Ta có: $ \left ( { SBC } \right )∩\left ( { ABC } \right )=BC $; $ SM⊂\left ( { SBC } \right ) $, $ SM⊥BC $; $ AM⊂\left ( { ABC } \right ) $, $ AM⊥BC $ nên suy ra được $ \left ( { \widehat { \left ( { SBC } \right ),\left ( { ABC } \right ) } } \right )=\left ( { \widehat { SM,AM } } \right )= \widehat { SMA }=45° $.
Tam giác $ SAM $ vuông tại $ A $ và có $ \widehat { SMA }=45° $ nên là tam giác cân tại $ A $.
Vì thế $ SA=AM=\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $.
Thể tích khối chóp $ S.ABC $ là $ V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.S_{ ABC } .SA $$ =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a ^ { 2 } } { \sqrt[] { 3 } }.\frac { a } { \sqrt[] { 3 } } $$ =\frac { a ^ { 3 } } { 9 } $.
