Bài tập nâng cao · Bài 11
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 11
Cho hình chóp đều $ S.ABC $, có đáy là tam giác đều cạnh bằng $ a $. Gọi $ M,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ SB\,,\,SC $. Biết mặt phẳng $ \left ( { AMN } \right ) $ vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { SBC } \right ) $. Tính thể tích $ V $ của khối chóp $ A.BCNM $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ H $ là hình chiếu của $ S $ lên $ \left ( { ABC } \right ) $$ \Rightarrow H $ cũng là trọng tâm $ \Delta ABC $.
Gọi $ P $ là trung điểm $ BC $, $ I=SP∩MN $.
Suy ra: $ I $ là trung điểm $ MN $cũng là trung điểm $ SP $.
Ta có: $ \Delta SAB=\Delta SBC $ ( mặt bên của hình chóp đều).
$ \Rightarrow AM=AN $$ \Rightarrow \Delta AMN $ cân tại $ A $.
$ \Rightarrow AI $ là trung tuyến cũng là đường cao của $ \Delta AMN $.
$ \left \{ \begin{array}{l} \Rightarrow AI⊥MN \\ \left ( { AMN } \right )⊥\left ( { SBC } \right ) \\ \left ( { AMN } \right )∩\left ( { SBC } \right )=MN \end{array} \right.\Rightarrow AI⊥\left ( { SBC } \right )\Rightarrow AI⊥SP $.
Tam giác $ SAP $ có $ AI $ là trung tuyến cũng là đường cao nên $ \Delta SAP $ cân tại $ A $.
$ \Rightarrow SA=AP=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
$ \Rightarrow SH=\sqrt[] { (SA)^2 -(AH)^2 }=\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 6 } $.
$ \Rightarrow V_{ S.ABC } =\frac { 1 } { 3 }.\frac { a\sqrt[] { 15 } } { 6 }.\frac { a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 24 } $.
Lại có: $ \frac { V_{ S.AMN } } { V_{ S.ABC } }=\frac { SA } { SA }.\frac { SM } { SB }.\frac { SN } { SC }=\frac { 1 } { 4 } $
$ \Rightarrow V_{ S.AMN } =\frac { 1 } { 4 }.\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 24 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 96 } $.
Vậy: $ V_{ A.BCNM } =V_{ S.ABC } -V_{ S.AMN } =\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 24 }-\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 96 }=\frac { a ^ { 3 } \sqrt[] { 5 } } { 32 } $.