Bài tập nâng cao · Bài 12
Dạng 1. Thể tích khối chóp
Bài tập nâng cao Thể tích · Bài 12
Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ B $ có $ AC=2BC $, đường trung tuyến $ BM $, phân giác trong $ CN $ và $ MN=a $. Các mặt phẳng $ \left ( { SBM } \right ) $ và $ \left ( { SCN } \right ) $ cùng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $. Thể tích khối chóp $ S.ABC $ bằng $ \frac { 3\sqrt[] { 3 }a ^ { 3 } } { 8 } $. Gọi $ I $ là trung điểm của $ SC $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng $ MN $ và $ IB $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Tam giác $ ABC $ vuông tại $ B $ có $ AC=2BC $$ \Rightarrow \widehat { { \rm{ A } } }=30 ^ { 0 } \,,\, \widehat { C }=60 ^ { 0 } \Rightarrow \Delta MBC $ đều $ \Rightarrow CN $ là đường trung trực của đoạn thẳng $ BM $$ \Rightarrow BN=MN=a\Rightarrow BC=\frac { BN } { tan30 ^ { 0 } }=a\sqrt[] { 3 } $
$ \Rightarrow AC=2a\sqrt[] { 3 } $, $ AB=3a\Rightarrow S_{ ABC } =\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Gọi $ H $ là giao điểm của $ BM $ và $ CN $. Do đó $ SH $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { SBM } \right ) $ và $ \left ( { SCN } \right ) $$ \Rightarrow SH⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow SH=\frac { 3V_{ S.ABC } } { S_{ ABC } }=\frac { 3a } { 4 } $.
Gọi $ G $ là giao điểm của $ AI $ và $ SM\Rightarrow AG=\frac { 2 } { 3 }AI $, có $ \frac { AN } { AB }=\frac { AB-BN } { AB }=\frac { 2a } { 3a }=\frac { 2 } { 3 } $.
Suy ra $ NG\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,IB\Rightarrow IB\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\,\left ( { SMN } \right )\Rightarrow d\left ( { IB,MN } \right )=d\left ( { IB,\left ( { SMN } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right ) $.
Có $ \frac { d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right ) } { d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right ) }=\frac { BM } { BH }=2\Rightarrow d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right ) $.
Dựng $ HK⊥MN $ tại $ K $ và $ HJ⊥SK $ tại $ J\Rightarrow HJ⊥\left ( { SMN } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right )=HJ $.
Có $ \frac { HK } { CM }=\frac { NH } { NC }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow HK=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Ta có $ \frac { 1 } { (HJ)^2 }=\frac { 1 } { (SH)^2 }+\frac { 1 } { (HK)^2 }=\frac { 16 } { 9a ^ { 2 } }+\frac { 16 } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 64 } { 9a ^ { 2 } }\Rightarrow HJ=\frac { 3a } { 8 } $.
Do đó $ d\left ( { IB,MN } \right )=d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2HJ=\frac { 3a } { 4 } $.
$ \Rightarrow AC=2a\sqrt[] { 3 } $, $ AB=3a\Rightarrow S_{ ABC } =\frac { 3a ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 2 } $.
Gọi $ H $ là giao điểm của $ BM $ và $ CN $. Do đó $ SH $ là giao tuyến của hai mặt phẳng $ \left ( { SBM } \right ) $ và $ \left ( { SCN } \right ) $$ \Rightarrow SH⊥\left ( { ABC } \right )\Rightarrow SH=\frac { 3V_{ S.ABC } } { S_{ ABC } }=\frac { 3a } { 4 } $.
Gọi $ G $ là giao điểm của $ AI $ và $ SM\Rightarrow AG=\frac { 2 } { 3 }AI $, có $ \frac { AN } { AB }=\frac { AB-BN } { AB }=\frac { 2a } { 3a }=\frac { 2 } { 3 } $.
Suy ra $ NG\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,IB\Rightarrow IB\,{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }\,\,\left ( { SMN } \right )\Rightarrow d\left ( { IB,MN } \right )=d\left ( { IB,\left ( { SMN } \right ) } \right )=d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right ) $.
Có $ \frac { d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right ) } { d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right ) }=\frac { BM } { BH }=2\Rightarrow d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right ) $.
Dựng $ HK⊥MN $ tại $ K $ và $ HJ⊥SK $ tại $ J\Rightarrow HJ⊥\left ( { SMN } \right ) $$ \Rightarrow d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right )=HJ $.
Có $ \frac { HK } { CM }=\frac { NH } { NC }=\frac { 1 } { 4 }\Rightarrow HK=\frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } $.
Ta có $ \frac { 1 } { (HJ)^2 }=\frac { 1 } { (SH)^2 }+\frac { 1 } { (HK)^2 }=\frac { 16 } { 9a ^ { 2 } }+\frac { 16 } { 3a ^ { 2 } }=\frac { 64 } { 9a ^ { 2 } }\Rightarrow HJ=\frac { 3a } { 8 } $.
Do đó $ d\left ( { IB,MN } \right )=d\left ( { B,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2d\left ( { H,\left ( { SMN } \right ) } \right )=2HJ=\frac { 3a } { 4 } $.